Номер 4, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Проверь себя! - номер 4, страница 102.

Условие.

4. Найти значения x, при которых значения производной функции

$f(x) = \ln(3x + 1)$

положительны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых значения производной функции $f(x) = \ln(3x + 1)$ положительны, необходимо сначала найти производную этой функции, а затем решить неравенство $f'(x) > 0$.

1. Нахождение области определения функции.
Так как аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным, имеем:
$3x + 1 > 0$
$3x > -1$
$x > -\frac{1}{3}$
Таким образом, область определения функции $f(x)$ есть интервал $(-\frac{1}{3}; +\infty)$.

2. Нахождение производной функции.
Функция $f(x) = \ln(3x + 1)$ является сложной функцией. Для нахождения ее производной используем правило дифференцирования сложной функции: $(\ln(u))' = \frac{1}{u} \cdot u'$.
В данном случае $u = 3x + 1$, тогда $u' = (3x + 1)' = 3$.
Получаем производную:
$f'(x) = \frac{1}{3x + 1} \cdot (3x + 1)' = \frac{1}{3x + 1} \cdot 3 = \frac{3}{3x + 1}$.

3. Решение неравенства.
Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:
$\frac{3}{3x + 1} > 0$
Числитель дроби равен 3, что является положительным числом. Чтобы вся дробь была положительной, ее знаменатель также должен быть положительным:
$3x + 1 > 0$
$3x > -1$
$x > -\frac{1}{3}$

Полученное множество значений $x$ полностью совпадает с областью определения исходной функции.

Ответ: значения производной функции положительны при $x \in (-\frac{1}{3}; +\infty)$.