Номер 4, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Проверь себя! - номер 4, страница 103.

Условие.

4. Написать уравнение той касательной к графику функции $y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 5$, которая параллельна прямой $y = 3x - 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения уравнения касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ используется формула: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

По условию задачи, искомая касательная параллельна прямой $y = 3x - 2$. Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент (наклон) прямой $y = 3x - 2$ равен $3$. Следовательно, угловой коэффициент искомой касательной $k$ также равен $3$.

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке касания $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной в этой точке. Таким образом, $k = f'(x_0) = 3$.

Сначала найдем производную функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 5$:
$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 5)' = \frac{1}{3} \cdot (3x^2) - 2x + 0 = x^2 - 2x$.

Теперь найдем абсциссу точки (или точек) касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = 3$:
$x_0^2 - 2x_0 = 3$
$x_0^2 - 2x_0 - 3 = 0$
Это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета: сумма корней равна $2$, а их произведение равно $-3$. Отсюда получаем корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, существует две точки на графике функции, в которых касательная параллельна данной прямой. Найдем уравнение для каждой из них.

Для точки касания с абсциссой $x_0 = 3$
Найдем ординату этой точки, подставив $x_0=3$ в исходную функцию:
$y_0 = f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 + 5 = \frac{27}{3} - 9 + 5 = 9 - 9 + 5 = 5$.
Точка касания — $(3, 5)$.
Подставляем известные значения $x_0=3$, $y_0=5$ и $k=3$ в уравнение касательной:
$y - 5 = 3(x - 3)$
$y - 5 = 3x - 9$
$y = 3x - 4$.

Для точки касания с абсциссой $x_0 = -1$
Найдем ординату этой точки, подставив $x_0=-1$ в исходную функцию:
$y_0 = f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 + 5 = -\frac{1}{3} - 1 + 5 = 4 - \frac{1}{3} = \frac{11}{3}$.
Точка касания — $(-1, \frac{11}{3})$.
Подставляем известные значения $x_0=-1$, $y_0=\frac{11}{3}$ и $k=3$ в уравнение касательной:
$y - \frac{11}{3} = 3(x - (-1))$
$y - \frac{11}{3} = 3(x + 1)$
$y - \frac{11}{3} = 3x + 3$
$y = 3x + 3 + \frac{11}{3} = 3x + \frac{9}{3} + \frac{11}{3} = 3x + \frac{20}{3}$.

Ответ: Существуют две касательные, удовлетворяющие условию: $y = 3x - 4$ и $y = 3x + \frac{20}{3}$.