Номер 267, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 1. Возрастание и убывание функции - номер 267, страница 109.

Условие.

Найти промежутки возрастания и убывания функции

(267–268).

267. 1) $y = 5x^2 - 3x - 1;$

2) $y = x^2 - 10x + 11;$

3) $y = 2x^3 + 3x^2 - 4;$

4) $y = 2x^3 + 3x^2 - 36x + 40.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y = 5x^2 - 3x - 1$, необходимо найти её производную.
Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
Находим производную: $y' = (5x^2 - 3x - 1)' = 10x - 3$.
Далее, находим критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.
$10x - 3 = 0$
$x = \frac{3}{10} = 0.3$.
Эта точка делит числовую прямую на два интервала: $(-\infty; 0.3)$ и $(0.3; +\infty)$.
Определим знак производной на каждом интервале:
- На интервале $(-\infty; 0.3)$, выберем точку $x=0$. $y'(0) = 10(0) - 3 = -3$. Так как $y' < 0$, функция на этом промежутке убывает.
- На интервале $(0.3; +\infty)$, выберем точку $x=1$. $y'(1) = 10(1) - 3 = 7$. Так как $y' > 0$, функция на этом промежутке возрастает.
Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0.3]$ и возрастает на промежутке $[0.3; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[\frac{3}{10}; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; \frac{3}{10}]$.

2) Дана функция $y = x^2 - 10x + 11$.
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Находим производную: $y' = (x^2 - 10x + 11)' = 2x - 10$.
Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$2x - 10 = 0 \Rightarrow x = 5$.
Точка $x=5$ разбивает числовую ось на два интервала. Определим знак производной на них.
- При $x < 5$ (например, $x=0$), $y'(0) = 2 \cdot 0 - 10 = -10 < 0$, следовательно, функция убывает на $(-\infty; 5]$.
- При $x > 5$ (например, $x=6$), $y'(6) = 2 \cdot 6 - 10 = 12 - 10 = 2 > 0$, следовательно, функция возрастает на $[5; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[5; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 5]$.

3) Дана функция $y = 2x^3 + 3x^2 - 4$.
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Находим производную: $y' = (2x^3 + 3x^2 - 4)' = 6x^2 + 6x$.
Находим критические точки из уравнения $y' = 0$:
$6x^2 + 6x = 0 \Rightarrow 6x(x + 1) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$.
Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$ и $(0; +\infty)$.
Определим знак производной на каждом из них:
- Промежуток $(-\infty; -1)$: возьмем $x=-2$. $y'(-2) = 6(-2)^2 + 6(-2) = 24 - 12 = 12 > 0$. Функция возрастает.
- Промежуток $(-1; 0)$: возьмем $x=-0.5$. $y'(-0.5) = 6(-0.5)^2 + 6(-0.5) = 1.5 - 3 = -1.5 < 0$. Функция убывает.
- Промежуток $(0; +\infty)$: возьмем $x=1$. $y'(1) = 6(1)^2 + 6(1) = 12 > 0$. Функция возрастает.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; +\infty)$, убывает на промежутке $[-1; 0]$.

4) Дана функция $y = 2x^3 + 3x^2 - 36x + 40$.
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Находим производную: $y' = (2x^3 + 3x^2 - 36x + 40)' = 6x^2 + 6x - 36$.
Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$6x^2 + 6x - 36 = 0 \quad | : 6$
$x^2 + x - 6 = 0$.
Корни квадратного уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = 2$.
Критические точки $x = -3$ и $x = 2$ делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -3)$, $(-3; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Определим знак производной $y' = 6(x^2 + x - 6)$ на этих промежутках:
- Промежуток $(-\infty; -3)$: возьмем $x=-4$. $y'(-4) = 6((-4)^2 + (-4) - 6) = 6(16 - 4 - 6) = 6 \cdot 6 = 36 > 0$. Функция возрастает.
- Промежуток $(-3; 2)$: возьмем $x=0$. $y'(0) = 6(0^2 + 0 - 6) = -36 < 0$. Функция убывает.
- Промежуток $(2; +\infty)$: возьмем $x=3$. $y'(3) = 6(3^2 + 3 - 6) = 6(9 + 3 - 6) = 6 \cdot 6 = 36 > 0$. Функция возрастает.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутке $[-3; 2]$.