Страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Найти промежутки возрастания и убывания функции

(267–268).

267. 1) $y = 5x^2 - 3x - 1;$

2) $y = x^2 - 10x + 11;$

3) $y = 2x^3 + 3x^2 - 4;$

4) $y = 2x^3 + 3x^2 - 36x + 40.$

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y = 5x^2 - 3x - 1$, необходимо найти её производную.
Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
Находим производную: $y' = (5x^2 - 3x - 1)' = 10x - 3$.
Далее, находим критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.
$10x - 3 = 0$
$x = \frac{3}{10} = 0.3$.
Эта точка делит числовую прямую на два интервала: $(-\infty; 0.3)$ и $(0.3; +\infty)$.
Определим знак производной на каждом интервале:
- На интервале $(-\infty; 0.3)$, выберем точку $x=0$. $y'(0) = 10(0) - 3 = -3$. Так как $y' < 0$, функция на этом промежутке убывает.
- На интервале $(0.3; +\infty)$, выберем точку $x=1$. $y'(1) = 10(1) - 3 = 7$. Так как $y' > 0$, функция на этом промежутке возрастает.
Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0.3]$ и возрастает на промежутке $[0.3; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[\frac{3}{10}; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; \frac{3}{10}]$.

2) Дана функция $y = x^2 - 10x + 11$.
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Находим производную: $y' = (x^2 - 10x + 11)' = 2x - 10$.
Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$2x - 10 = 0 \Rightarrow x = 5$.
Точка $x=5$ разбивает числовую ось на два интервала. Определим знак производной на них.
- При $x < 5$ (например, $x=0$), $y'(0) = 2 \cdot 0 - 10 = -10 < 0$, следовательно, функция убывает на $(-\infty; 5]$.
- При $x > 5$ (например, $x=6$), $y'(6) = 2 \cdot 6 - 10 = 12 - 10 = 2 > 0$, следовательно, функция возрастает на $[5; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[5; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 5]$.

3) Дана функция $y = 2x^3 + 3x^2 - 4$.
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Находим производную: $y' = (2x^3 + 3x^2 - 4)' = 6x^2 + 6x$.
Находим критические точки из уравнения $y' = 0$:
$6x^2 + 6x = 0 \Rightarrow 6x(x + 1) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$.
Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$ и $(0; +\infty)$.
Определим знак производной на каждом из них:
- Промежуток $(-\infty; -1)$: возьмем $x=-2$. $y'(-2) = 6(-2)^2 + 6(-2) = 24 - 12 = 12 > 0$. Функция возрастает.
- Промежуток $(-1; 0)$: возьмем $x=-0.5$. $y'(-0.5) = 6(-0.5)^2 + 6(-0.5) = 1.5 - 3 = -1.5 < 0$. Функция убывает.
- Промежуток $(0; +\infty)$: возьмем $x=1$. $y'(1) = 6(1)^2 + 6(1) = 12 > 0$. Функция возрастает.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; +\infty)$, убывает на промежутке $[-1; 0]$.

4) Дана функция $y = 2x^3 + 3x^2 - 36x + 40$.
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Находим производную: $y' = (2x^3 + 3x^2 - 36x + 40)' = 6x^2 + 6x - 36$.
Находим критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$6x^2 + 6x - 36 = 0 \quad | : 6$
$x^2 + x - 6 = 0$.
Корни квадратного уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = 2$.
Критические точки $x = -3$ и $x = 2$ делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -3)$, $(-3; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Определим знак производной $y' = 6(x^2 + x - 6)$ на этих промежутках:
- Промежуток $(-\infty; -3)$: возьмем $x=-4$. $y'(-4) = 6((-4)^2 + (-4) - 6) = 6(16 - 4 - 6) = 6 \cdot 6 = 36 > 0$. Функция возрастает.
- Промежуток $(-3; 2)$: возьмем $x=0$. $y'(0) = 6(0^2 + 0 - 6) = -36 < 0$. Функция убывает.
- Промежуток $(2; +\infty)$: возьмем $x=3$. $y'(3) = 6(3^2 + 3 - 6) = 6(9 + 3 - 6) = 6 \cdot 6 = 36 > 0$. Функция возрастает.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутке $[-3; 2]$.

268. 1) $y = x^2 - 3x + 4$;

2) $y = 2x - x^2$;

3) $y = x^3 - 3x$;

4) $y = x^4 - 2x^2$.

1) $y = x^2 - 3x + 4$

Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдем ее производную, приравняем ее к нулю для нахождения критических точек и определим знаки производной на полученных интервалах.

1. Находим производную функции:

$y' = (x^2 - 3x + 4)' = 2x - 3$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$.

3. Определяем знаки производной на интервалах, на которые числовая ось делится критической точкой $x = \frac{3}{2}$:

На интервале $(-\infty; \frac{3}{2})$ возьмем пробную точку $x=0$. $y'(0) = 2(0) - 3 = -3 < 0$. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, \frac{3}{2}]$.

На интервале $(\frac{3}{2}; +\infty)$ возьмем пробную точку $x=2$. $y'(2) = 2(2) - 3 = 1 > 0$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $[\frac{3}{2}, +\infty)$.

4. В точке $x = \frac{3}{2}$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума. Найдем значение функции в этой точке:

$y_{min} = y(\frac{3}{2}) = (\frac{3}{2})^2 - 3 \cdot \frac{3}{2} + 4 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 4 = \frac{9 - 18 + 16}{4} = \frac{7}{4}$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[\frac{3}{2}, +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty, \frac{3}{2}]$; точка минимума $x_{min} = \frac{3}{2}$, $y_{min} = \frac{7}{4}$.

2) $y = 2x - x^2$

Проведем исследование функции по аналогии с предыдущим пунктом.

1. Находим производную функции:

$y' = (2x - x^2)' = 2 - 2x$.

2. Находим критические точки из уравнения $y' = 0$:

$2 - 2x = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1$.

3. Определяем знаки производной на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$:

На интервале $(-\infty; 1)$ возьмем точку $x=0$. $y'(0) = 2 - 2(0) = 2 > 0$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$.

На интервале $(1; +\infty)$ возьмем точку $x=2$. $y'(2) = 2 - 2(2) = -2 < 0$. Следовательно, функция убывает на промежутке $[1, +\infty)$.

4. В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка максимума. Найдем значение функции в этой точке:

$y_{max} = y(1) = 2(1) - 1^2 = 2 - 1 = 1$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$, убывает на промежутке $[1, +\infty)$; точка максимума $x_{max} = 1$, $y_{max} = 1$.

3) $y = x^3 - 3x$

1. Находим производную функции:

$y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$3x^2 - 3 = 0 \implies 3(x^2 - 1) = 0 \implies 3(x-1)(x+1) = 0$.

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

3. Определяем знаки производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$:

На интервале $(-\infty; -1)$ (например, $x=-2$): $y'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 9 > 0$. Функция возрастает на $(-\infty, -1]$.

На интервале $(-1; 1)$ (например, $x=0$): $y'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0$. Функция убывает на $[-1, 1]$.

На интервале $(1; +\infty)$ (например, $x=2$): $y'(2) = 3(2)^2 - 3 = 9 > 0$. Функция возрастает на $[1, +\infty)$.

4. В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «–», это точка максимума. $y_{max} = y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с «–» на «+», это точка минимума. $y_{min} = y(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутке $[-1, 1]$; точка максимума $x_{max} = -1$, $y_{max} = 2$; точка минимума $x_{min} = 1$, $y_{min} = -2$.

4) $y = x^4 - 2x^2$

1. Находим производную функции:

$y' = (x^4 - 2x^2)' = 4x^3 - 4x$.

2. Находим критические точки из уравнения $y' = 0$:

$4x^3 - 4x = 0 \implies 4x(x^2 - 1) = 0 \implies 4x(x-1)(x+1) = 0$.

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

3. Определяем знаки производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$:

На $(-\infty; -1)$ (например, $x=-2$): $y'(-2) = 4(-8) - 4(-2) = -24 < 0$. Функция убывает на $(-\infty, -1]$.

На $(-1; 0)$ (например, $x=-0.5$): $y'(-0.5) = 4(-0.125) - 4(-0.5) = -0.5 + 2 = 1.5 > 0$. Функция возрастает на $[-1, 0]$.

На $(0; 1)$ (например, $x=0.5$): $y'(0.5) = 4(0.125) - 4(0.5) = 0.5 - 2 = -1.5 < 0$. Функция убывает на $[0, 1]$.

На $(1; +\infty)$ (например, $x=2$): $y'(2) = 4(8) - 4(2) = 24 > 0$. Функция возрастает на $[1, +\infty)$.

4. В точке $x = -1$ производная меняет знак с «–» на «+», это точка минимума. $y_{min} = y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 = 1 - 2 = -1$.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «–», это точка максимума. $y_{max} = y(0) = 0^4 - 2(0)^2 = 0$.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с «–» на «+», это точка минимума. $y_{min} = y(1) = 1^4 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1, 0]$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$; точка максимума $x_{max} = 0$, $y_{max} = 0$; точки минимума $x_{min} = \pm 1$, $y_{min} = -1$.

Найти промежутки монотонности функции (269—270).

269. 1) $y = x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 4$; 2) $y = \frac{2}{x} + 1$; 3) $y = -\sqrt{x - 3}$;

4) $y = 3\sqrt{x - 5} + 1$; 5) $y = x - \sin 2x$; 6) $y = 2x + \frac{1}{3}\cos 3x$.

Для нахождения промежутков монотонности функции необходимо найти её производную и определить знаки производной на области определения функции.

1) $y = x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 4$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = (x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 4)' = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2$

3. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$5x^4 - 20x^3 + 15x^2 = 0$

$5x^2(x^2 - 4x + 3) = 0$

Отсюда получаем:

$5x^2 = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) = 0 \Rightarrow x_2 = 1, x_3 = 3$

4. Критические точки $0, 1, 3$ разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$, $(1; 3)$, $(3; +\infty)$. Определим знак производной $y' = 5x^2(x-1)(x-3)$ на каждом интервале.

• При $x \in (-\infty; 0)$: $y'(-1) = 5(-1)^2(-1-1)(-1-3) = 5 \cdot 1 \cdot (-2) \cdot (-4) = 40 > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0; 1)$: $y'(0.5) = 5(0.5)^2(0.5-1)(0.5-3) = 5 \cdot 0.25 \cdot (-0.5) \cdot (-2.5) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (1; 3)$: $y'(2) = 5(2)^2(2-1)(2-3) = 5 \cdot 4 \cdot 1 \cdot (-1) = -20 < 0$, функция убывает.
• При $x \in (3; +\infty)$: $y'(4) = 5(4)^2(4-1)(4-3) = 5 \cdot 16 \cdot 3 \cdot 1 = 240 > 0$, функция возрастает.

Поскольку функция непрерывна в точках $0, 1, 3$, их можно включить в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 1]$ и $[3; +\infty)$; убывает на промежутке $[1; 3]$.

2) $y = \frac{2}{x} + 1$

1. Область определения: $x \neq 0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Находим производную:

$y' = (\frac{2}{x} + 1)' = (2x^{-1} + 1)' = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$

3. Производная $y'$ нигде не равна нулю. Она не определена в точке $x=0$, которая не входит в область определения функции.

4. Определим знак производной. Так как $x^2 > 0$ для любого $x$ из области определения, то $y' = -\frac{2}{x^2}$ всегда отрицательна.

Следовательно, функция убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

3) $y = -\sqrt{x-3}$

1. Область определения: выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$. $D(y) = [3; +\infty)$.

2. Находим производную:

$y' = (-\sqrt{x-3})' = -( (x-3)^{\frac{1}{2}} )' = -\frac{1}{2}(x-3)^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{x-3}}$

3. Производная нигде не равна нулю. Она не определена в точке $x=3$, которая является граничной точкой области определения.

4. На всей области определения, где производная существует (т.е. при $x>3$), знаменатель $2\sqrt{x-3}$ положителен. Следовательно, производная $y' = -\frac{1}{2\sqrt{x-3}}$ всегда отрицательна.

Функция убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $[3; +\infty)$.

4) $y = 3\sqrt{x-5} + 1$

1. Область определения: $x-5 \geq 0 \Rightarrow x \geq 5$. $D(y) = [5; +\infty)$.

2. Находим производную:

$y' = (3\sqrt{x-5} + 1)' = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-5}} = \frac{3}{2\sqrt{x-5}}$

3. Производная нигде не равна нулю. Она не определена в точке $x=5$.

4. При $x > 5$ знаменатель $2\sqrt{x-5}$ положителен. Следовательно, производная $y' = \frac{3}{2\sqrt{x-5}}$ всегда положительна.

Функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[5; +\infty)$.

5) $y = x - \sin 2x$

1. Область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную:

$y' = (x - \sin 2x)' = 1 - (\cos 2x) \cdot 2 = 1 - 2\cos 2x$

3. Находим критические точки:

$1 - 2\cos 2x = 0 \Rightarrow \cos 2x = \frac{1}{2}$

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

4. Определим знаки производной.

Функция возрастает, если $y' > 0$:

$1 - 2\cos 2x > 0 \Rightarrow \cos 2x < \frac{1}{2}$

$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow \frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, если $y' < 0$:

$1 - 2\cos 2x < 0 \Rightarrow \cos 2x > \frac{1}{2}$

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow -\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{5\pi}{6} + \pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$; убывает на промежутках $[-\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{6} + \pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

6) $y = 2x + \frac{1}{3}\cos 3x$

1. Область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную:

$y' = (2x + \frac{1}{3}\cos 3x)' = 2 + \frac{1}{3}(-\sin 3x) \cdot 3 = 2 - \sin 3x$

3. Попробуем найти критические точки: $2 - \sin 3x = 0 \Rightarrow \sin 3x = 2$.

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $[-1; 1]$. Следовательно, критических точек нет.

4. Определим знак производной. Поскольку $-1 \leq \sin 3x \leq 1$, то

$2 - 1 \leq 2 - \sin 3x \leq 2 - (-1)$

$1 \leq 2 - \sin 3x \leq 3$

Таким образом, производная $y'$ всегда положительна ($y' \geq 1$).

Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

270. 1) $y = \frac{x^3}{x^2+3};$

2) $y = (x-1)^3(2x+3)^2;$

3) $y = (x-1)e^{3x};$

4) $y = xe^{-3x}.$

1) Для нахождения производной функции $y = \frac{x^3}{x^2 + 3}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного (формулой частного): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В нашем случае, пусть $u(x) = x^3$ и $v(x) = x^2 + 3$.
Найдем производные этих функций:
$u'(x) = (x^3)' = 3x^2$
$v'(x) = (x^2 + 3)' = 2x$
Теперь подставим найденные значения в формулу производной частного:
$y' = \frac{(3x^2)(x^2 + 3) - (x^3)(2x)}{(x^2 + 3)^2}$
Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:
$y' = \frac{3x^4 + 9x^2 - 2x^4}{(x^2 + 3)^2} = \frac{x^4 + 9x^2}{(x^2 + 3)^2}$
Вынесем общий множитель $x^2$ в числителе для окончательного вида:
$y' = \frac{x^2(x^2 + 9)}{(x^2 + 3)^2}$
Ответ: $y' = \frac{x^2(x^2 + 9)}{(x^2 + 3)^2}$.

2) Для нахождения производной функции $y = (x - 1)^3(2x + 3)^2$ используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = (x - 1)^3$ и $v(x) = (2x + 3)^2$.
Найдем производные этих функций, применяя правило дифференцирования сложной функции:
$u'(x) = ((x - 1)^3)' = 3(x-1)^2 \cdot (x-1)' = 3(x-1)^2 \cdot 1 = 3(x-1)^2$
$v'(x) = ((2x + 3)^2)' = 2(2x+3) \cdot (2x+3)' = 2(2x+3) \cdot 2 = 4(2x+3)$
Применим правило произведения:
$y' = u'v + uv' = 3(x-1)^2(2x+3)^2 + (x-1)^3 \cdot 4(2x+3)$
Для упрощения выражения вынесем за скобки общие множители $(x-1)^2$ и $(2x+3)$:
$y' = (x-1)^2(2x+3) [3(2x+3) + 4(x-1)]$
Упростим выражение в квадратных скобках:
$y' = (x-1)^2(2x+3) [6x + 9 + 4x - 4] = (x-1)^2(2x+3)(10x + 5)$
Из последней скобки можно вынести множитель 5:
$y' = (x-1)^2(2x+3) \cdot 5(2x+1) = 5(x-1)^2(2x+1)(2x+3)$
Ответ: $y' = 5(x-1)^2(2x+1)(2x+3)$.

3) Для нахождения производной функции $y = (x - 1)e^{3x}$ используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x - 1$ и $v(x) = e^{3x}$.
Найдем их производные:
$u'(x) = (x-1)' = 1$
$v'(x) = (e^{3x})' = e^{3x} \cdot (3x)' = 3e^{3x}$
Подставляем в формулу производной произведения:
$y' = u'v + uv' = 1 \cdot e^{3x} + (x - 1) \cdot 3e^{3x}$
Вынесем общий множитель $e^{3x}$ за скобки и упростим:
$y' = e^{3x}(1 + 3(x-1)) = e^{3x}(1 + 3x - 3) = e^{3x}(3x - 2)$
Ответ: $y' = (3x - 2)e^{3x}$.

4) Для нахождения производной функции $y = xe^{-3x}$ используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = e^{-3x}$.
Найдем их производные:
$u'(x) = (x)' = 1$
$v'(x) = (e^{-3x})' = e^{-3x} \cdot (-3x)' = -3e^{-3x}$
Подставляем в формулу производной произведения:
$y' = u'v + uv' = 1 \cdot e^{-3x} + x \cdot (-3e^{-3x}) = e^{-3x} - 3xe^{-3x}$
Вынесем общий множитель $e^{-3x}$ за скобки:
$y' = e^{-3x}(1 - 3x)$
Ответ: $y' = (1 - 3x)e^{-3x}$.

271. На рисунке 58 изображён график функции $f'(x)$, являющейся производной функции $y$. Определить промежутки возрастания и убывания функции $y = f(x)$. Рис. 58

272. При каких значениях $a$ функция возрастает на всей числовой прямой:

1) $y = x^3 - ax$:

271.

Для определения промежутков возрастания и убывания функции $y = f(x)$, необходимо проанализировать знак её производной $f'(x)$. Функция возрастает, когда её производная положительна ($f'(x) > 0$), и убывает, когда её производная отрицательна ($f'(x) < 0$).

Нам предоставлен график функции $y = f'(x)$. Проанализируем его:

Промежутки возрастания функции $f(x)$:
Функция $f(x)$ возрастает там, где $f'(x) > 0$. На графике это соответствует участкам, где кривая находится выше оси абсцисс (оси $x$). Из рисунка видно, что график $f'(x)$ положителен на интервале $(-1, 3)$. Следовательно, функция $f(x)$ возрастает на промежутке $[-1, 3]$.

Промежутки убывания функции $f(x)$:
Функция $f(x)$ убывает там, где $f'(x) < 0$. На графике это соответствует участкам, где кривая находится ниже оси абсцисс. Таких участков два. Первый — от левой границы видимой области графика (приблизительно $x=-5$) до $x=-1$. Второй — от $x=3$ до $x=4$. Следовательно, функция $f(x)$ убывает на промежутках $[-5, -1]$ и $[3, 4]$.

Точки, в которых производная обращается в ноль ($x=-1$, $x=3$ и $x=4$), являются критическими (стационарными) точками для исходной функции $f(x)$.

Ответ: функция $y=f(x)$ возрастает на промежутке $[-1, 3]$; убывает на промежутках $[-5, -1]$ и $[3, 4]$.

272. 1)

Рассмотрим функцию $y = x^3 - ax$.

Функция возрастает на всей числовой прямой, если ее производная $y'$ является неотрицательной (то есть $y' \ge 0$) для всех действительных значений $x$.

Сначала найдем производную данной функции по переменной $x$:
$y' = (x^3 - ax)' = 3x^2 - a$.

Теперь необходимо найти такие значения параметра $a$, при которых неравенство $3x^2 - a \ge 0$ будет выполняться для любого значения $x$.

Запишем неравенство в виде:
$3x^2 \ge a$.

Проанализируем левую часть неравенства. Выражение $3x^2$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, и с вершиной в точке $(0, 0)$. Наименьшее значение, которое может принимать выражение $3x^2$, равно $0$ (это значение достигается при $x=0$).

Для того чтобы неравенство $3x^2 \ge a$ было верным для всех без исключения значений $x$, правая часть ($a$) должна быть не больше, чем самое наименьшее значение левой части.

Следовательно, мы получаем условие: $a \le 0$.

Ответ: $a \le 0$.

272. При каких значениях a функция возрастает на всей числовой прямой:

1) $y = x^3 - ax;$

2) $y = ax - \sin x?$

1) Для того чтобы функция $y = x^3 - ax$ возрастала на всей числовой прямой, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была неотрицательна для всех действительных значений $x$.

Найдем производную функции:

$y' = (x^3 - ax)' = 3x^2 - a$.

Условие возрастания функции на всей числовой прямой: $y' \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$.

Получаем неравенство: $3x^2 - a \ge 0$, или $3x^2 \ge a$.

Это неравенство должно выполняться для всех значений $x$. Левая часть неравенства, $3x^2$, представляет собой параболу с ветвями вверх, ее наименьшее значение достигается при $x=0$ и равно $3 \cdot 0^2 = 0$.

Следовательно, чтобы неравенство $3x^2 \ge a$ выполнялось для всех $x$, значение $a$ должно быть не больше наименьшего значения левой части, то есть $a \le 0$.

Ответ: $a \le 0$.

2) Для того чтобы функция $y = ax - \sin x$ возрастала на всей числовой прямой, ее производная должна быть неотрицательна для всех $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную функции:

$y' = (ax - \sin x)' = a - \cos x$.

Условие возрастания функции на всей числовой прямой: $y' \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$.

Получаем неравенство: $a - \cos x \ge 0$, или $a \ge \cos x$.

Это неравенство должно быть верным для всех действительных значений $x$. Множество значений функции $\cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Чтобы неравенство $a \ge \cos x$ выполнялось для всех $x$, значение $a$ должно быть не меньше наибольшего значения функции $\cos x$. Наибольшее значение $\cos x$ равно 1.

Следовательно, $a \ge 1$.

Ответ: $a \ge 1$.

273. Доказать, что функция $y=\sqrt{6+x-x^2}$ возрастает на отрезке $\left[-2; \frac{1}{2}\right]$ и убывает на отрезке $\left[\frac{1}{2}; 3\right]$.

Для доказательства утверждения исследуем функцию $y = \sqrt{6 + x - x^2}$ на монотонность с помощью производной.

Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$6 + x - x^2 \ge 0$

Умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный:

$x^2 - x - 6 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 6$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем:

$x_1 = -2$, $x_2 = 3$.

Парабола $f(x) = x^2 - x - 6$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 6 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями. Таким образом, область определения функции $D(y) = [-2; 3]$.

Теперь найдем производную функции $y'$:

$y' = (\sqrt{6 + x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{6 + x - x^2}} \cdot (6 + x - x^2)' = \frac{1 - 2x}{2\sqrt{6 + x - x^2}}$

Интервалы монотонности функции определяются знаком ее производной. Так как знаменатель $2\sqrt{6 + x - x^2}$ положителен для всех $x$ из интервала $(-2; 3)$, знак производной $y'$ совпадает со знаком ее числителя $(1 - 2x)$.

Доказать, что функция возрастает на отрезке $[-2; \frac{1}{2}]$

Функция возрастает, если ее производная неотрицательна ($y' \ge 0$).

$1 - 2x \ge 0$

$1 \ge 2x$

$x \le \frac{1}{2}$

С учетом области определения функции $[-2; 3]$, получаем, что производная $y' \ge 0$ на отрезке $[-2; \frac{1}{2}]$. Следовательно, на этом отрезке функция является возрастающей.

Ответ: Утверждение доказано. Так как производная $y' \ge 0$ для всех $x \in [-2; \frac{1}{2}]$, функция возрастает на отрезке $[-2; \frac{1}{2}]$.

Доказать, что функция убывает на отрезке $[\frac{1}{2}; 3]$

Функция убывает, если ее производная неположительна ($y' \le 0$).

$1 - 2x \le 0$

$1 \le 2x$

$x \ge \frac{1}{2}$

С учетом области определения функции $[-2; 3]$, получаем, что производная $y' \le 0$ на отрезке $[\frac{1}{2}; 3]$. Следовательно, на этом отрезке функция является убывающей.

Ответ: Утверждение доказано. Так как производная $y' \le 0$ для всех $x \in [\frac{1}{2}; 3]$, функция убывает на отрезке $[\frac{1}{2}; 3]$.