Страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

10. Чему равна производная функции $y = x^p (p \in R)$; $y = \sin x$; $y = \cos x$; $y = e^x$?

y = $x^p$ ($p \in \mathbb{R}$)

Для нахождения производной степенной функции $y = x^p$, где $p$ — любое действительное число, используется общее правило дифференцирования, известное как правило для степенной функции. Согласно этому правилу, производная от $x$ в степени $n$ равна произведению показателя степени $n$ на $x$ в степени $n-1$.

Формула выглядит следующим образом:

$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$

Применяя эту формулу к нашей функции, где показатель степени равен $p$, получаем:

$y' = (x^p)' = p \cdot x^{p-1}$

Эта формула является одной из фундаментальных в дифференциальном исчислении и применима для любого действительного $p$, при котором функция и её производная определены.

Ответ: $y' = p \cdot x^{p-1}$

y = sin x

Производная тригонометрической функции $y = \sin x$ является стандартной и относится к табличным производным. Её находят, используя определение производной через предел, и результат является основной формулой.

Производная функции синус равна функции косинус:

$y' = (\sin x)' = \cos x$

Это означает, что тангенс угла наклона касательной к графику функции $y = \sin x$ в любой точке $x_0$ равен значению $\cos(x_0)$.

Ответ: $y' = \cos x$

y = cos x

Производная функции $y = \cos x$, как и производная синуса, является табличной. Она также выводится из определения производной.

Производная функции косинус равна функции синус, взятой с противоположным знаком:

$y' = (\cos x)' = -\sin x$

Важно помнить о знаке "минус" в этой формуле, что является частым источником ошибок. Тангенс угла наклона касательной к графику $y = \cos x$ в точке $x_0$ равен $-\sin(x_0)$.

Ответ: $y' = -\sin x$

y = $e^x$

Экспоненциальная функция $y = e^x$, где $e$ — это число Эйлера ($e \approx 2.71828...$), обладает уникальным свойством в дифференциальном исчислении. Эта функция является единственной (с точностью до постоянного множителя), производная которой равна самой функции.

Формула для её производной очень проста:

$y' = (e^x)' = e^x$

Это фундаментальное свойство делает экспоненту центральной функцией в изучении дифференциальных уравнений и многих других областей математики и естественных наук.

Ответ: $y' = e^x$

11. Что называется угловым коэффициентом прямой?

Угловым коэффициентом прямой называют числовой коэффициент $k$ в уравнении прямой, записанном в виде $y = kx + b$. Этот коэффициент характеризует наклон прямой относительно положительного направления оси абсцисс (оси $Ox$).

Геометрический смысл углового коэффициента заключается в том, что он равен тангенсу угла $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси $Ox$. Угол $\alpha$ отсчитывается против часовой стрелки. Математически это выражается формулой:
$k = \tan(\alpha)$
В зависимости от знака и значения коэффициента $k$, положение прямой меняется:

• Если $k > 0$, то прямая "возрастает" (идет вверх при движении слева направо), а угол наклона $\alpha$ является острым ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$).
• Если $k < 0$, то прямая "убывает" (идет вниз при движении слева направо), а угол наклона $\alpha$ является тупым ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$).
• Если $k = 0$, то прямая горизонтальна и параллельна оси $Ox$. Ее уравнение имеет вид $y = b$, а угол наклона $\alpha = 0^\circ$.
• Для вертикальной прямой, параллельной оси $Oy$ (задаваемой уравнением $x = c$), угол наклона $\alpha = 90^\circ$. Тангенс этого угла не определен, поэтому у вертикальных прямых угловой коэффициент не существует.

Алгебраический смысл углового коэффициента состоит в том, что он показывает, на сколько единиц изменится значение ординаты ($y$) при увеличении абсциссы ($x$) на одну единицу. Если на прямой известны координаты двух различных точек $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, то угловой коэффициент можно найти как отношение изменения координаты $y$ к изменению координаты $x$:
$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Ответ: Угловым коэффициентом прямой называется коэффициент $k$ в уравнении прямой вида $y = kx + b$, который численно равен тангенсу угла, образованного этой прямой с положительным направлением оси абсцисс.

12. Записать уравнение прямой с угловым коэффициентом $k$, проходящей через точку $(x_0; y_0)$.

Для решения этой задачи воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом. Общий вид такого уравнения:
$y = kx + b$
где $k$ — это заданный угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ох), а $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью OY (так называемый y-перехват).

В условии задачи нам даны угловой коэффициент $k$ и точка $M_0(x_0; y_0)$, через которую проходит искомая прямая. Поскольку точка $M_0$ лежит на прямой, её координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой. Это значит, что если мы подставим $x = x_0$ и $y = y_0$ в общее уравнение, мы получим верное равенство:
$y_0 = kx_0 + b$

Из этого равенства мы можем выразить неизвестную величину $b$ через известные нам $k$, $x_0$ и $y_0$:
$b = y_0 - kx_0$

Теперь, зная $b$, мы можем подставить это выражение обратно в исходное общее уравнение прямой $y = kx + b$. Это позволит нам получить уравнение, связывающее текущие координаты $x$ и $y$ любой точки на прямой через заданные параметры $k$, $x_0$ и $y_0$:
$y = kx + (y_0 - kx_0)$

Обычно это уравнение записывают в более удобной, канонической форме. Для этого перенесем $y_0$ в левую часть уравнения:
$y - y_0 = kx - kx_0$
И вынесем $k$ за скобки в правой части:
$y - y_0 = k(x - x_0)$
Это и есть искомое уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0; y_0)$ и имеющей угловой коэффициент $k$. Оно называется уравнением прямой по точке и угловому коэффициенту.

Ответ: $y - y_0 = k(x - x_0)$

13. В чём состоит геометрический смысл производной?

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведённой к графику этой функции в данной точке.

Определение через секущую и касательную

Рассмотрим график дифференцируемой функции $y = f(x)$. Возьмём на этом графике точку $M_0$ с координатами $(x_0, f(x_0))$ и другую точку $M$ с координатами $(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$, где $\Delta x$ — приращение аргумента. Прямая, проходящая через точки $M_0$ и $M$, называется секущей.

Угловой коэффициент секущей $k_{сек}$ равен отношению приращения функции $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ к приращению аргумента $\Delta x$:

$k_{сек} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Касательная к графику функции в точке $M_0$ — это предельное положение секущей $M_0M$, когда точка $M$ стремится к точке $M_0$ вдоль графика, то есть когда $\Delta x \to 0$. При этом угловой коэффициент секущей стремится к угловому коэффициенту касательной $k_{кас}$.

По определению, производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Следовательно, угловой коэффициент касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной в этой точке:

$k_{кас} = f'(x_0)$

Связь с углом наклона

Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox). Если $\alpha$ — это угол наклона касательной, проведённой к графику функции в точке $x_0$, то её угловой коэффициент $k_{кас} = \tan \alpha$.

Таким образом, значение производной в точке $x_0$ равно тангенсу угла наклона касательной в этой точке:

$f'(x_0) = \tan \alpha$

• Если $f'(x_0) > 0$, то угол $\alpha$ острый ($0 < \alpha < 90^\circ$), и функция в этой точке возрастает.
• Если $f'(x_0) < 0$, то угол $\alpha$ тупой ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), и функция в этой точке убывает.
• Если $f'(x_0) = 0$, то касательная горизонтальна ($\alpha = 0^\circ$), что соответствует точке экстремума (максимума или минимума) или точке перегиба.

Уравнение касательной

Используя геометрический смысл производной, можно записать уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$. Общее уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом $k$, имеет вид: $y - y_0 = k(x - x_0)$.

В нашем случае точка касания имеет координаты $(x_0, f(x_0))$, а угловой коэффициент равен $k = f'(x_0)$. Подставив эти значения, получаем уравнение касательной:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Ответ: Геометрический смысл производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ заключается в том, что её значение $f'(x_0)$ равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой $x_0$. Иначе говоря, производная равна тангенсу угла наклона этой касательной к положительному направлению оси Ox: $f'(x_0) = k_{кас} = \tan \alpha$.

14. Что называется пределом последовательности?

14.

Предел последовательности — это одно из фундаментальных понятий математического анализа. Интуитивно, предел последовательности — это число, к которому члены последовательности "приближаются" или "стремятся" с увеличением их номера.

Формальное определение (определение Коши, или на языке "эпсилон-N")

Число $a$ называется пределом числовой последовательности $\{x_n\}$, если для любого, сколь угодно малого, положительного числа $\varepsilon$ (эпсилон) существует такой номер $N$ (зависящий от $\varepsilon$), что для всех членов последовательности с номерами $n > N$ выполняется неравенство:

$|x_n - a| < \varepsilon$

Это записывается следующим образом:

$\lim_{n \to \infty} x_n = a$ или $x_n \to a$ при $n \to \infty$.

С помощью кванторов это определение можно записать так:

$\lim_{n \to \infty} x_n = a \iff \forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \text{такое, что} \ \forall n > N \implies |x_n - a| < \varepsilon$.

Геометрическая интерпретация

Неравенство $|x_n - a| < \varepsilon$ равносильно двойному неравенству $a - \varepsilon < x_n < a + \varepsilon$. Это означает, что член последовательности $x_n$ находится в интервале $(a - \varepsilon, a + \varepsilon)$, который называется $\varepsilon$-окрестностью точки $a$.

Таким образом, определение предела означает, что для любой, сколь угодно малой $\varepsilon$-окрестности точки $a$, почти все члены последовательности (то есть все, кроме, возможно, конечного их числа — первых $N$ членов) будут лежать внутри этой окрестности. Сколько бы мы ни "сужали" окрестность вокруг точки $a$ (уменьшая $\varepsilon$), всегда найдется такой номер $N$, начиная с которого все последующие члены последовательности попадут в эту суженую окрестность и уже никогда из нее не выйдут.

Сходимость и расходимость

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся. Если же последовательность не имеет конечного предела, она называется расходящейся. Расходящаяся последовательность может иметь предел, равный бесконечности ($\infty$ или $-\infty$), или не иметь предела вовсе (например, у последовательности $x_n = (-1)^n$, члены которой постоянно колеблются между -1 и 1 и не стремятся ни к какому конкретному числу).

Пример

Рассмотрим последовательность $x_n = \frac{1}{n}$. Докажем, что ее предел равен 0.

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$.

Согласно определению, для любого $\varepsilon > 0$ мы должны найти такое $N$, что для всех $n > N$ будет выполняться $| \frac{1}{n} - 0 | < \varepsilon$.

Неравенство $| \frac{1}{n} | < \varepsilon$ для натуральных $n$ эквивалентно $\frac{1}{n} < \varepsilon$, что в свою очередь эквивалентно $n > \frac{1}{\varepsilon}$.

Следовательно, в качестве $N$ мы можем взять любое натуральное число, большее или равное $\frac{1}{\varepsilon}$, например, $N = \lfloor \frac{1}{\varepsilon} \rfloor + 1$. Тогда для любого $n > N$ будет верно $n > \frac{1}{\varepsilon}$, и, значит, $|\frac{1}{n} - 0| < \varepsilon$. Таким образом, по определению, предел последовательности равен 0.

Ответ: Число $a$ называется пределом последовательности $\{x_n\}$, если для любого положительного числа $\varepsilon > 0$ найдется такое натуральное число $N$, что для всех номеров $n > N$ выполняется неравенство $|x_n - a| < \varepsilon$.

15. Что называется пределом функции?

Предел функции — это одно из фундаментальных понятий математического анализа, которое описывает поведение функции вблизи определённой точки. Говоря простыми словами, предел функции $f(x)$ при стремлении аргумента $x$ к точке $a$ — это значение, к которому неограниченно приближаются значения функции $f(x)$, когда $x$ становится всё ближе к $a$. При этом значение самой функции в точке $a$ не имеет значения для определения предела; функция может быть даже не определена в этой точке.

Существует два основных, эквивалентных друг другу, формальных определения предела функции.

Определение по Коши (на языке «эпсилон-дельта»)

Это определение является наиболее строгим и часто используется в доказательствах теорем анализа.

Число $L$ называется пределом функции $y = f(x)$ в точке $a$, если для любого, сколь угодно малого, положительного числа $\varepsilon$ («эпсилон») существует такое положительное число $\delta$ («дельта»), что для всех аргументов $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x - a| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - L| < \varepsilon$.

Символически это записывается так:
$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ : \ \forall x \ (0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon)$

Геометрический смысл: Какую бы узкую горизонтальную полосу шириной $2\varepsilon$ мы ни взяли вокруг прямой $y=L$, мы всегда сможем найти такой узкий вертикальный интервал (проколотую $\delta$-окрестность точки $a$) вокруг точки $x=a$, что все точки графика функции внутри этого интервала будут лежать в пределах указанной горизонтальной полосы.

Ответ: По определению Коши, число $L$ является пределом функции $f(x)$ в точке $a$, если для любого положительного $\varepsilon$ найдется такое положительное $\delta$, что из $0 < |x-a| < \delta$ следует $|f(x)-L| < \varepsilon$.

Определение по Гейне (на языке последовательностей)

Это определение связывает понятие предела функции с понятием предела числовой последовательности, что бывает удобно в некоторых приложениях.

Число $L$ называется пределом функции $y = f(x)$ в точке $a$, если для любой последовательности $\{x_n\}$ значений аргумента, которая сходится к $a$ (причем $x_n \neq a$ для всех $n$), соответствующая последовательность значений функции $\{f(x_n)\}$ сходится к числу $L$.

Символически это записывается так:
$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall \{x_n\}_{n=1}^{\infty} \ (\lim_{n \to \infty} x_n = a, \forall n, x_n \neq a) \implies \lim_{n \to \infty} f(x_n) = L$

Смысл определения: Каким бы путем (по какой бы последовательности точек) мы ни приближались к точке $a$, значения функции будут стремиться к одному и тому же числу $L$. Если можно найти две разные последовательности, сходящиеся к $a$, для которых значения функции сходятся к разным пределам, то предел функции в точке $a$ не существует.

Ответ: По определению Гейне, число $L$ является пределом функции $f(x)$ в точке $a$, если для любой последовательности $\{x_n\}$, сходящейся к $a$ (где $x_n \neq a$), последовательность значений функции $\{f(x_n)\}$ сходится к $L$.

16. Какая функция называется непрерывной в точке $a$?

Интуитивно, функция является непрерывной в точке $a$, если её график в окрестности этой точки можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Это означает, что график является сплошной линией без разрывов, скачков или проколов в данной точке.
В математическом анализе существует несколько эквивалентных строгих определений непрерывности функции в точке.

Определение 1 (по Гейне, или на языке пределов)

Это наиболее часто используемое определение. Функция $y = f(x)$ называется непрерывной в точке $a$, если предел функции при $x$, стремящемся к $a$, существует и равен значению функции в этой точке.
Формально это записывается так: $$ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$ Для выполнения этого равенства необходимо, чтобы одновременно соблюдались три условия:

1. Функция $f(x)$ определена в точке $a$ (то есть существует значение $f(a)$).
2. Функция $f(x)$ имеет конечный предел в точке $a$. Это, в свою очередь, означает, что левый и правый пределы существуют и равны между собой: $\lim_{x \to a-} f(x) = \lim_{x \to a+} f(x)$.
3. Этот предел равен значению функции в точке $a$.

Определение 2 (по Коши, или на языке $\varepsilon-\delta$)

Это наиболее строгое и фундаментальное определение. Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $a$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\varepsilon$ (эпсилон) найдётся такое положительное число $\delta$ (дельта), что для всех $x$ из области определения функции, удовлетворяющих неравенству $|x - a| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - f(a)| < \varepsilon$.
На языке логических символов: $$ \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ : \ \forall x \in D(f), \ (|x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \varepsilon) $$ Геометрически это означает, что для любой $\varepsilon$-окрестности точки $f(a)$ можно найти такую $\delta$-окрестность точки $a$, что все значения функции для $x$ из этой $\delta$-окрестности попадут в заданную $\varepsilon$-окрестность.

Определение 3 (на языке приращений)

Функция $y=f(x)$ называется непрерывной в точке $a$, если бесконечно малому приращению аргумента $\Delta x$ в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции $\Delta y$.
Здесь приращение аргумента $\Delta x = x - a$, а соответствующее ему приращение функции $\Delta y = f(x) - f(a) = f(a + \Delta x) - f(a)$.
Условие непрерывности записывается как: $$ \lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0 $$ Это определение является, по сути, переформулировкой первого определения.

Ответ: Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $a$, если она определена в окрестности этой точки (включая саму точку $a$) и предел функции при стремлении $x$ к $a$ равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

17. Как найти производную сложной функции? обратной функции?

Как найти производную сложной функции?

Сложной функцией (или композицией функций) называется функция вида $y = f(g(x))$. В этой записи $f$ — это внешняя функция, а $g(x)$ — внутренняя функция.

Для нахождения производной сложной функции используется правило дифференцирования сложной функции (также известное как цепное правило). Оно гласит: производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по её аргументу (внутренней функции) на производную внутренней функции по независимой переменной.

Формула производной сложной функции:
$ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $

Чтобы найти производную, нужно:

1. Определить внешнюю функцию $f$ и внутреннюю $g$.
2. Найти производную внешней функции $f'(u)$, где $u$ — её аргумент.
3. Найти производную внутренней функции $g'(x)$.
4. Подставить в производную внешней функции $f'$ вместо её аргумента $u$ внутреннюю функцию $g(x)$, получив $f'(g(x))$.
5. Умножить результат на производную внутренней функции $g'(x)$.

Пример: Найти производную функции $y = \cos(x^3)$.
Здесь внешняя функция $f(u) = \cos(u)$, а внутренняя функция $g(x) = x^3$.
Производная внешней функции: $f'(u) = (\cos u)' = -\sin u$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (x^3)' = 3x^2$.
Применяем формулу:
$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\sin(x^3) \cdot 3x^2 = -3x^2 \sin(x^3)$.

Ответ: Производная сложной функции $y=f(g(x))$ вычисляется по формуле $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$, то есть как произведение производной внешней функции (взятой по внутренней функции) на производную внутренней функции.

Как найти производную обратной функции?

Пусть даны две взаимно обратные функции: $y=f(x)$ и $x=g(y)$. Это означает, что $g(f(x)) = x$ и $f(g(y)) = y$.

Теорема о производной обратной функции гласит: если функция $y=f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$ и её производная $f'(x_0) \neq 0$, а обратная ей функция $x=g(y)$ непрерывна в точке $y_0 = f(x_0)$, то обратная функция также дифференцируема в точке $y_0$, и её производная связана с производной прямой функции следующим соотношением:

$g'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}$

Эту формулу также можно записать в других обозначениях:
$ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)} $ или $x_y' = \frac{1}{y_x'}$.

Это означает, что производная обратной функции в некоторой точке равна единице, деленной на производную исходной функции в соответствующей точке.

Пример: Найти производную функции $y = \arcsin x$.
Эта функция является обратной к функции $x = \sin y$ (на соответствующем интервале). Здесь $y=f(x)=\arcsin x$ и $x=g(y)=\sin y$.
Мы хотим найти $f'(x) = (\arcsin x)'$.
Найдём производную "прямой" функции $x=\sin y$ по её аргументу $y$:
$x_y' = g'(y) = (\sin y)' = \cos y$.
Теперь используем формулу для производной обратной функции:
$y_x' = f'(x) = \frac{1}{x_y'} = \frac{1}{\cos y}$.
Чтобы выразить производную через $x$, нужно выразить $\cos y$ через $x$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ и зная, что $x = \sin y$, получаем:
$\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$.
(Знак плюс перед корнем выбирается потому, что для главной ветви арксинуса $y \in [-\pi/2, \pi/2]$, а на этом промежутке $\cos y \ge 0$).
Следовательно, $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.

Ответ: Производная обратной функции $x=g(y)$ равна обратной величине производной прямой функции $y=f(x)$, то есть $g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$, где $x=g(y)$.

18. Вывести формулу для нахождения производной функции $y = \text{tg } x$; $y = \text{ctg } x$.

y = tg x

Для того чтобы вывести формулу производной функции $y = \tg x$, представим тангенс как отношение синуса к косинусу: $y = \frac{\sin x}{\cos x}$. Далее воспользуемся правилом дифференцирования частного (формулой производной дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае, пусть $u(x) = \sin x$ и $v(x) = \cos x$. Нам известны производные этих функций: $u' = (\sin x)' = \cos x$ $v' = (\cos x)' = -\sin x$

Подставим эти выражения в формулу производной частного: $(\tg x)' = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \frac{(\sin x)' \cdot \cos x - \sin x \cdot (\cos x)'}{(\cos x)^2} = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}$

Теперь упростим полученное выражение в числителе: $\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$

Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, мы получаем конечный результат: $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

Ответ: $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

y = ctg x

Аналогично, для вывода формулы производной функции $y = \ctg x$, представим котангенс как отношение косинуса к синусу: $y = \frac{\cos x}{\sin x}$. Снова используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В этом случае, пусть $u(x) = \cos x$ и $v(x) = \sin x$. Их производные: $u' = (\cos x)' = -\sin x$ $v' = (\sin x)' = \cos x$

Подставляем эти выражения в формулу: $(\ctg x)' = \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)' = \frac{(\cos x)' \cdot \sin x - \cos x \cdot (\sin x)'}{(\sin x)^2} = \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x}$

Упростим числитель, вынеся знак "минус" за скобки: $\frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем: $(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Ответ: $(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

19. Какую прямую называют касательной к графику функции в данной точке?

Касательная к графику функции в некоторой точке — это прямая, которая наилучшим образом аппроксимирует (приближает) график функции в окрестности этой точки. Более строгое определение дается через понятие предела.

Рассмотрим функцию $y = f(x)$, которая является дифференцируемой в точке $x_0$. На графике этой функции возьмем точку $M_0$ с координатами $(x_0, f(x_0))$. Возьмем также другую точку $M$ на этом же графике, близкую к $M_0$,

20. Что называется пределом слева (справа) функции $f(x)$ в точке $a$?

Пределы слева и справа, также известные как односторонние пределы, описывают поведение функции, когда ее аргумент приближается к определенной точке с одной конкретной стороны (слева или справа на числовой оси).

Предел слева (левосторонний предел)

Это значение, к которому стремится функция $f(x)$, когда ее аргумент $x$ приближается к точке $a$, оставаясь при этом строго меньше $a$. То есть мы рассматриваем значения $x$ в левой окрестности точки $a$.

Обозначение: $\lim_{x \to a-0} f(x)$ или $\lim_{x \to a-} f(x)$.

Формальное определение (на языке "эпсилон-дельта"):
Число $B$ называется пределом функции $f(x)$ слева в точке $a$, если для любого положительного числа $\varepsilon > 0$ найдется такое положительное число $\delta > 0$, что для всех $x$ из области определения функции, удовлетворяющих неравенству $a - \delta < x < a$, выполняется неравенство $|f(x) - B| < \varepsilon$.

Ответ: Предел слева (левосторонний предел) функции $f(x)$ в точке $a$ – это значение, к которому стремится функция, когда ее аргумент $x$ стремится к $a$, оставаясь при этом меньше $a$.

Предел справа (правосторонний предел)

Это значение, к которому стремится функция $f(x)$, когда ее аргумент $x$ приближается к точке $a$, оставаясь при этом строго больше $a$. То есть мы рассматриваем значения $x$ в правой окрестности точки $a$.

Обозначение: $\lim_{x \to a+0} f(x)$ или $\lim_{x \to a+} f(x)$.

Формальное определение (на языке "эпсилон-дельта"):
Число $B$ называется пределом функции $f(x)$ справа в точке $a$, если для любого положительного числа $\varepsilon > 0$ найдется такое положительное число $\delta > 0$, что для всех $x$ из области определения функции, удовлетворяющих неравенству $a < x < a + \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - B| < \varepsilon$.

Ответ: Предел справа (правосторонний предел) функции $f(x)$ в точке $a$ – это значение, к которому стремится функция, когда ее аргумент $x$ стремится к $a$, оставаясь при этом больше $a$.

Важное замечание: для существования "обычного" (двустороннего) предела функции в точке $a$ необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали оба односторонних предела (и слева, и справа) и они были равны друг другу: $\lim_{x \to a-0} f(x) = \lim_{x \to a+0} f(x) = L$. В этом случае говорят, что предел функции в точке $a$ равен $L$ и пишут $\lim_{x \to a} f(x) = L$.

21. Какую функцию называют бесконечно малой?

Бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) при $x$, стремящемся к некоторой предельной точке $a$ (где $a$ может быть числом или одним из символов бесконечности: $+\infty$, $-\infty$, $\infty$), называется функция $f(x)$, предел которой в этой точке равен нулю.

Математически это записывается как: $$ \lim_{x \to a} f(x) = 0 $$

Это означает, что значения функции $f(x)$ можно сделать сколь угодно близкими к нулю, выбирая значения $x$ достаточно близко к $a$.

Формальное определение (на языке «эпсилон-дельта»):

1. Для конечной предельной точки $a$. Функция $f(x)$ называется бесконечно малой при $x \to a$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon > 0$ существует такое положительное число $\delta > 0$, что для всех $x$, удовлетворяющих неравенству $0 < |x - a| < \delta$, выполняется неравенство: $$|f(x)| < \epsilon$$

2. Для предельной точки на бесконечности. Функция $f(x)$ называется бесконечно малой при $x \to \infty$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon > 0$ существует такое число $M > 0$, что для всех $x$, удовлетворяющих неравенству $|x| > M$, выполняется неравенство: $$|f(x)| < \epsilon$$

Примеры:

• Функция $f(x) = x^2$ является бесконечно малой при $x \to 0$, так как $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$.
• Функция $f(x) = \frac{1}{x}$ является бесконечно малой при $x \to \infty$ (а также при $x \to -\infty$), так как $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$.
• Функция $f(x) = x-5$ является бесконечно малой при $x \to 5$, так как $\lim_{x \to 5} (x-5) = 0$.

Важно понимать, что "бесконечно малая" — это характеристика поведения функции в окрестности определённой точки, а не свойство функции в целом.

Понятие бесконечно малой тесно связано с общим определением предела. Число $L$ является пределом функции $f(x)$ при $x \to a$ тогда и только тогда, когда разность $f(x) - L$ является бесконечно малой функцией при $x \to a$.

Ответ: Бесконечно малой функцией при $x \to a$ называется функция, предел которой в точке $a$ равен нулю.

22. Сформулировать свойства предела функции.

Свойства пределов функций, также известные как теоремы о пределах, определяют, как ведут себя пределы при арифметических операциях и в других ситуациях. Следующие свойства сформулированы в предположении, что функции $f(x)$ и $g(x)$ имеют конечные пределы в точке $a$ (которая может быть числом или $\pm\infty$):

$\lim_{x \to a} f(x) = A$ и $\lim_{x \to a} g(x) = B$, где $A$ и $B$ — конечные числа.

1. Единственность предела

Если предел функции в точке существует, то он единственен. То есть, функция не может стремиться к двум разным пределам в одной и той же точке.

2. Предел постоянной функции

Предел постоянной величины равен самой этой величине:

$\lim_{x \to a} C = C$, где $C$ — константа.

3. Арифметические свойства пределов

• Предел суммы и разности: Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов.

  $\lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x) = A \pm B$

• Предел произведения: Предел произведения двух функций равен произведению их пределов.

  $\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) = A \cdot B$

  Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

  $\lim_{x \to a} (C \cdot f(x)) = C \cdot \lim_{x \to a} f(x) = C \cdot A$

• Предел частного: Предел частного (дроби) двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю.

  $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} = \frac{A}{B}$, при условии, что $B \neq 0$.

4. Предел степенной и степенно-показательной функции

• Предел степени: Предел степени функции равен той же степени предела основания.

  $\lim_{x \to a} [f(x)]^n = [\lim_{x \to a} f(x)]^n = A^n$, для целого $n$.

• Предел степенно-показательной функции: Если $A > 0$, то предел существует и равен:

  $\lim_{x \to a} [f(x)]^{g(x)} = [\lim_{x \to a} f(x)]^{\lim_{x \to a} g(x)} = A^B$

5. Свойства пределов, связанные с неравенствами

• Переход к пределу в неравенстве: Если в некоторой проколотой окрестности точки $a$ выполняется неравенство $f(x) \le g(x)$ и существуют пределы обеих функций в этой точке, то их пределы удовлетворяют тому же неравенству:

  $\lim_{x \to a} f(x) \le \lim_{x \to a} g(x)$, то есть $A \le B$.

• Теорема о сжатой функции (о двух милиционерах): Если в некоторой проколотой окрестности точки $a$ для трех функций выполняются неравенства $h(x) \le f(x) \le g(x)$, и при этом пределы "ограничивающих" функций $h(x)$ и $g(x)$ в точке $a$ существуют и равны друг другу: $\lim_{x \to a} h(x) = \lim_{x \to a} g(x) = L$, то предел "сжатой" функции $f(x)$ в точке $a$ также существует и равен этому же значению:

  $\lim_{x \to a} f(x) = L$

6. Предел сложной функции

Пусть существует предел "внутренней" функции $\lim_{x \to a} g(x) = B$, и "внешняя" функция $f(y)$ является непрерывной в точке $y=B$. Тогда существует предел сложной функции $f(g(x))$ в точке $a$, и он равен значению внешней функции в точке, равной пределу внутренней:

$\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(\lim_{x \to a} g(x)) = f(B)$

Ответ: Основные свойства предела функции: 1. Единственность предела. 2. Предел константы равен самой константе. 3. Арифметические свойства для суммы, разности, произведения и частного (при условии, что предел знаменателя отличен от нуля). 4. Свойства, связанные с неравенствами (переход к пределу в неравенстве, теорема о двух милиционерах). 5. Теорема о пределе сложной функции (при условии непрерывности внешней функции).

23. Сформулировать свойства функций, непрерывных на отрезке.

Функции, непрерывные на замкнутом отрезке $[a, b]$, обладают рядом важных свойств, которые формулируются в виде следующих теорем:

Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности функции). Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то она ограничена на этом отрезке. Это означает, что существует такое число $M > 0$, что для всех $x \in [a, b]$ выполняется неравенство $|f(x)| \le M$. Иначе говоря, множество значений функции на этом отрезке имеет и верхнюю, и нижнюю границу.

Ответ: Функция, непрерывная на отрезке, является ограниченной на этом отрезке.

Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении наибольшего и наименьшего значений). Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то она достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений. Это означает, что существуют такие точки $x_{\min} \in [a, b]$ и $x_{\max} \in [a, b]$, что для любого $x \in [a, b]$ выполняются неравенства $f(x_{\min}) \le f(x) \le f(x_{\max})$. Значения $m = f(x_{\min})$ и $M = f(x_{\max})$ являются соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции на отрезке.

Ответ: Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений.

Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении. Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и на его концах принимает значения $f(a) = A$ и $f(b) = B$, то для любого числа $C$, заключенного между $A$ и $B$, найдется такая точка $c \in (a, b)$, что $f(c) = C$. Важным следствием этой теоремы является то, что непрерывная на отрезке функция принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значением.

Следствие из теоремы Больцано-Коши (теорема о нуле функции). Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и принимает на его концах значения разных знаков (то есть $f(a) \cdot f(b) < 0$), то на интервале $(a, b)$ существует по крайней мере одна точка $c$, в которой функция обращается в ноль: $f(c) = 0$.

Ответ: Функция, непрерывная на отрезке, принимает на нём все значения между её наименьшим и наибольшим значениями. В частности, если на концах отрезка значения функции имеют разные знаки, то внутри этого отрезка существует хотя бы один корень уравнения $f(x)=0$.

Теорема Кантора о равномерной непрерывности. Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то она равномерно непрерывна на этом отрезке. Это означает, что для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $\delta > 0$, что для любых двух точек $x_1, x_2 \in [a, b]$, удовлетворяющих условию $|x_1 - x_2| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$. Ключевое отличие от обычной непрерывности в точке заключается в том, что здесь $\delta$ является единым для всех точек отрезка и зависит только от $\varepsilon$.

Ответ: Функция, непрерывная на отрезке, является равномерно непрерывной на этом отрезке.

24. Чему равна производная функции $y = \arcsin x$? $y = \operatorname{arctg} x$?

y = arcsin x?

Для нахождения производной функции $y = \arcsin x$ воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции. Если $y = \arcsin x$, то это эквивалентно тому, что $x = \sin y$, при условии, что $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Формула для производной обратной функции выглядит так: $y'(x) = \frac{1}{x'(y)}$

Сначала найдем производную функции $x = \sin y$ по переменной $y$: $x'(y) = (\sin y)' = \cos y$

Теперь, согласно формуле, производная $y'(x)$ равна: $(\arcsin x)' = \frac{1}{\cos y}$

Чтобы получить ответ, выраженный через $x$, нам нужно выразить $\cos y$ через $x$. Мы знаем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$. Из этого тождества следует, что $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$.

Поскольку $x = \sin y$, мы можем переписать это как $\cos^2 y = 1 - x^2$. Функция $y = \arcsin x$ имеет область значений $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. В этом интервале косинус является неотрицательной функцией ($\cos y \ge 0$), поэтому мы выбираем положительное значение корня: $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$

Подставляем полученное выражение в нашу формулу для производной: $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

Эта производная определена при $1-x^2 > 0$, то есть для всех $x \in (-1, 1)$.

Ответ: $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

y = arctg x?

Для нахождения производной функции $y = \operatorname{arctg} x$ (арктангенс $x$) мы также используем правило дифференцирования обратной функции. Если $y = \operatorname{arctg} x$, то $x = \operatorname{tg} y$, при условии, что $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Формула для производной обратной функции: $y'(x) = \frac{1}{x'(y)}$

Найдем производную функции $x = \operatorname{tg} y$ по переменной $y$: $x'(y) = (\operatorname{tg} y)' = \frac{1}{\cos^2 y}$

Чтобы выразить производную через $x$, воспользуемся тригонометрическим тождеством: $1 + \operatorname{tg}^2 y = \frac{1}{\cos^2 y}$. Поскольку $x = \operatorname{tg} y$, мы можем записать: $x'(y) = 1 + \operatorname{tg}^2 y = 1 + x^2$.

Теперь подставим это выражение в формулу для производной $y'(x)$: $(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1 + x^2}$

Эта производная определена для всех действительных чисел $x$, так как знаменатель $1+x^2$ никогда не равен нулю.

Ответ: $(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1 + x^2}$

25. Что называется дифференциалом функции в точке?

Определение дифференциала функции в точке

Пусть функция $y = f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$. Дадим аргументу $x$ приращение $\Delta x$ (такое, что точка $x_0 + \Delta x$ не выходит из этой окрестности). Тогда функция получит приращение, обозначаемое $\Delta y$:

$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

Функция $y = f(x)$ называется дифференцируемой в точке $x_0$, если ее приращение в этой точке можно представить в виде:

$\Delta y = A \cdot \Delta x + o(\Delta x)$

где $A$ — некоторое число, не зависящее от $\Delta x$, а $o(\Delta x)$ (читается как "о малое от дельта икс") — это бесконечно малая функция более высокого порядка по сравнению с $\Delta x$. Это означает, что отношение $\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$ стремится к нулю при $\Delta x \to 0$.

Дифференциалом функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ называется главная, линейная относительно $\Delta x$ часть приращения функции. Дифференциал обозначается $dy$ или $df(x_0)$.

$dy = A \cdot \Delta x$

Связь дифференциала с производной

Ключевым фактом является то, что коэффициент $A$ в определении дифференциала равен значению производной функции в точке $x_0$. Покажем это. Разделим равенство для $\Delta y$ на $\Delta x$:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = A + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$

Теперь найдем предел этого выражения при $\Delta x \to 0$. Левая часть по определению является производной $f'(x_0)$, а в правой части второе слагаемое стремится к нулю:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left( A + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \right) = A + 0 = A$

Следовательно, $A = f'(x_0)$. Таким образом, для дифференцируемой функции ее дифференциал в точке $x_0$ равен произведению ее производной в этой точке на приращение аргумента:

$dy = f'(x_0) \cdot \Delta x$

Принято считать, что дифференциал независимой переменной $x$ равен ее приращению, то есть $dx = \Delta x$. С учетом этого, формула для дифференциала функции принимает свой окончательный вид:

$dy = f'(x_0) \cdot dx$

Геометрический смысл дифференциала

Геометрически дифференциал функции в точке — это приращение ординаты (координаты по оси Y) касательной к графику функции в этой точке, когда аргумент получает приращение $\Delta x$.

На рисунке показан график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке $M_0(x_0, f(x_0))$.

• $\Delta x = M_0N$ — приращение аргумента.
• $\Delta y = NP$ — истинное приращение функции. Это то, на сколько на самом деле изменилась высота кривой.
• $dy = NQ$ — дифференциал функции. Это то, на сколько изменилась бы высота, если бы мы двигались не по кривой, а по прямой касательной.

Из прямоугольного треугольника $M_0NQ$ видно, что $\tan(\alpha) = \frac{NQ}{M_0N} = \frac{dy}{\Delta x}$. В то же время, тангенс угла наклона касательной $\alpha$ по определению равен значению производной в точке касания: $\tan(\alpha) = f'(x_0)$.

Приравнивая эти два выражения, получаем: $f'(x_0) = \frac{dy}{\Delta x}$, откуда и следует формула $dy = f'(x_0) \cdot \Delta x$.

Дифференциал является линейной аппроксимацией (приближением) реального приращения функции: при малых $\Delta x$ точка $P$ на графике очень близка к точке $Q$ на касательной, поэтому $\Delta y \approx dy$. Это свойство широко используется в приближенных вычислениях.

Ответ: Дифференциалом функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ называется главная, линейная относительно приращения аргумента $\Delta x$, часть приращения функции $\Delta y$. Он вычисляется по формуле $dy = f'(x_0) \cdot dx$, где $f'(x_0)$ — производная функции в точке $x_0$, а $dx$ — дифференциал независимой переменной, равный ее приращению $\Delta x$. Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке.

26. В чём состоит геометрический и физический смысл дифференциала?

Геометрический смысл

Рассмотрим график дифференцируемой функции $y = f(x)$ и проведём к нему касательную в точке $M_0(x_0, f(x_0))$. Уравнение этой касательной имеет вид: $Y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$, где $f'(x_0)$ — значение производной в точке $x_0$, равное тангенсу угла наклона касательной.

Дадим аргументу $x$ приращение $\Delta x$. Тогда новое значение аргумента будет $x_0 + \Delta x$. При этом функция получит приращение $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$. Это изменение ординаты (координаты y) при переходе от точки $M_0$ к точке $M$ на самой кривой $y = f(x)$.

Теперь посмотрим, как изменится ордината на касательной при том же приращении аргумента $\Delta x$. Обозначим это приращение ординаты касательной как $dY$. Из уравнения касательной, при $x = x_0 + \Delta x$, получим: $dY = Y - f(x_0) = f'(x_0)( (x_0 + \Delta x) - x_0 ) = f'(x_0)\Delta x$.

По определению, дифференциал функции $dy$ в точке $x_0$ равен $dy = f'(x_0)dx$. Полагая приращение независимой переменной $\Delta x$ равным её дифференциалу $dx$ (т.е. $dx = \Delta x$), мы видим, что $dy = f'(x_0)\Delta x$.

Таким образом, $dy = dY$. Это означает, что дифференциал функции $dy$ в точке $x_0$ геометрически представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в этой точке, соответствующее приращению аргумента $\Delta x$. Для малых $\Delta x$ дифференциал $dy$ является хорошим приближением реального приращения функции $\Delta y$, то есть $\Delta y \approx dy$.

Ответ: Геометрический смысл дифференциала функции в точке заключается в том, что он равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда аргумент получает приращение $\Delta x$.

Физический смысл

Пусть некоторая физическая величина $y$ зависит от времени $t$ по закону $y = f(t)$. Например, $s = s(t)$ — закон прямолинейного движения, где $s$ — путь, а $t$ — время.

Производная $f'(t)$ (в нашем примере $s'(t) = v(t)$) представляет собой мгновенную скорость изменения величины $y$ в момент времени $t$.

За малый промежуток времени от $t$ до $t + \Delta t$ величина $y$ получит истинное приращение $\Delta y = f(t + \Delta t) - f(t)$.

Дифференциал этой функции, $dy = f'(t)dt$, при $dt = \Delta t$ равен $dy = f'(t)\Delta t$.

Физически выражение $f'(t)\Delta t$ можно интерпретировать как изменение величины $y$ за промежуток времени $\Delta t$, которое произошло бы, если бы скорость её изменения оставалась постоянной и равной мгновенной скорости $f'(t)$ в начальный момент времени $t$.

Например, для движения $ds = v(t)dt$ — это расстояние, которое тело прошло бы за время $dt$, если бы двигалось с постоянной скоростью $v(t)$. На самом деле скорость может меняться, поэтому реальное приращение пути $\Delta s$ может отличаться от $ds$. Однако для малых промежутков времени $\Delta t$ это отличие незначительно, и дифференциал служит хорошим приближением реального изменения: $\Delta y \approx dy$. Это используется в физике и технике для приближённых вычислений.

Ответ: Физический смысл дифференциала состоит в том, что он представляет собой линейное приближение приращения физической величины, вычисленное в предположении, что скорость её изменения на малом промежутке времени (или при малом изменении другого параметра) остаётся постоянной и равной её мгновенному значению в начале этого промежутка.

1. Найти значение производной функции $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - x$ в точке $x = -2$.

1. Для решения задачи необходимо сначала найти производную функции $f(x)$, а затем вычислить её значение в указанной точке $x = -2$.

Исходная функция: $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - x$.

Находим производную $f'(x)$, используя правила дифференцирования. Производная суммы/разности равна сумме/разности производных, а производная степенной функции $(x^n)'$ находится по формуле $n \cdot x^{n-1}$.

$f'(x) = (2x^3 + 3x^2 - x)' = (2x^3)' + (3x^2)' - (x)'$

Вычисляем производную для каждого слагаемого:
$(2x^3)' = 2 \cdot 3x^{3-1} = 6x^2$
$(3x^2)' = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x$
$(x)' = 1$

Таким образом, производная функции равна:
$f'(x) = 6x^2 + 6x - 1$

Теперь подставим значение $x = -2$ в выражение для производной, чтобы найти её значение в этой точке:
$f'(-2) = 6(-2)^2 + 6(-2) - 1$

Выполним вычисления:
$f'(-2) = 6 \cdot 4 - 12 - 1$
$f'(-2) = 24 - 12 - 1$
$f'(-2) = 12 - 1 = 11$

Ответ: 11

2. Найти производную функции:

1) $ \frac{2}{x} + 4\sqrt{x} - e^x; $

2) $ (3x-5)^3; $

3) $ 3\sin 2x \cdot \cos x; $

4) $ \frac{x^3}{x^2+5}. $

1) Для нахождения производной функции $y = \frac{2}{x} + 4\sqrt{x} - e^x$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы функций $(u+v-w)' = u' + v' - w'$, а также табличными производными.
Представим функцию в виде, удобном для дифференцирования: $y = 2x^{-1} + 4x^{1/2} - e^x$.
Теперь найдем производную каждого слагаемого, используя правило степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$ и производную экспоненты $(e^x)'=e^x$:
$y' = (2x^{-1})' + (4x^{1/2})' - (e^x)' = 2 \cdot (-1)x^{-1-1} + 4 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} - e^x = -2x^{-2} + 2x^{-1/2} - e^x$.
Перепишем результат в исходном виде:
$y' = -\frac{2}{x^2} + \frac{2}{\sqrt{x}} - e^x$.
Ответ: $y' = -\frac{2}{x^2} + \frac{2}{\sqrt{x}} - e^x$

2) Функция $y = (3x-5)^3$ является сложной. Для ее дифференцирования применим цепное правило $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Внешняя функция $f(u) = u^3$, ее производная $f'(u) = 3u^2$.
Внутренняя функция $g(x) = 3x-5$, ее производная $g'(x) = 3$.
Подставляем в формулу:
$y' = 3(3x-5)^2 \cdot (3x-5)' = 3(3x-5)^2 \cdot 3 = 9(3x-5)^2$.
Ответ: $y' = 9(3x-5)^2$

3) Для нахождения производной функции $y = 3\sin(2x) \cdot \cos(x)$ используем правило дифференцирования произведения двух функций $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u = 3\sin(2x)$ и $v = \cos(x)$.
Найдем производную $u$. Это сложная функция, поэтому применяем цепное правило:
$u' = (3\sin(2x))' = 3 \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = 3\cos(2x) \cdot 2 = 6\cos(2x)$.
Найдем производную $v$:
$v' = (\cos x)' = -\sin x$.
Теперь подставляем найденные производные в формулу произведения:
$y' = u'v + uv' = (6\cos(2x)) \cdot \cos(x) + (3\sin(2x)) \cdot (-\sin x) = 6\cos(2x)\cos(x) - 3\sin(2x)\sin(x)$.
Ответ: $y' = 6\cos(2x)\cos(x) - 3\sin(2x)\sin(x)$

4) В данном случае мы имеем частное двух функций $y = \frac{x^3}{x^2 + 5}$, поэтому применяем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть числитель $u = x^3$, а знаменатель $v = x^2 + 5$.
Найдем их производные:
$u' = (x^3)' = 3x^2$.
$v' = (x^2+5)' = 2x$.
Подставляем в формулу для производной частного:
$y' = \frac{(3x^2)(x^2+5) - (x^3)(2x)}{(x^2+5)^2}$.
Упростим выражение в числителе:
$y' = \frac{3x^4 + 15x^2 - 2x^4}{(x^2+5)^2} = \frac{x^4 + 15x^2}{(x^2+5)^2}$.
Можно вынести общий множитель $x^2$ в числителе:
$y' = \frac{x^2(x^2 + 15)}{(x^2+5)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{x^4 + 15x^2}{(x^2+5)^2}$

3. Найти угол между касательной к графику функции $y = x^4 - 2x^3 + 3$ в точке с абсциссой $x_0 = \frac{1}{2}$ и осью $Ox$.

Угол $\alpha$ между касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и положительным направлением оси Ox определяется через тангенс этого угла. Тангенс угла наклона касательной, также известный как угловой коэффициент $k$, равен значению производной функции в точке касания $x_0$.

Связь между углом и производной выражается формулой: $k = \tan(\alpha) = f'(x_0)$.

Нам дана функция $y = x^4 - 2x^3 + 3$ и точка с абсциссой $x_0 = \frac{1}{2}$.

1. Найдем производную функции $y=f(x)$.

Используя правила дифференцирования, находим производную $y'$:

$y' = (x^4 - 2x^3 + 3)' = (x^4)' - (2x^3)' + (3)' = 4x^{3} - 2 \cdot 3x^{2} + 0 = 4x^3 - 6x^2$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{2}$.

Подставим значение $x_0 = \frac{1}{2}$ в выражение для производной, чтобы найти угловой коэффициент $k$ касательной:

$k = y'(\frac{1}{2}) = 4 \left(\frac{1}{2}\right)^3 - 6 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 4 \cdot \frac{1}{8} - 6 \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{8} - \frac{6}{4} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{2}{2} = -1$.

3. Найдем искомый угол.

Мы выяснили, что угловой коэффициент касательной равен -1. Следовательно, тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ox также равен -1:

$\tan(\alpha) = -1$.

Угол $\alpha$ (обычно ищется в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$), для которого тангенс равен -1, это $135^\circ$ или $\frac{3\pi}{4}$ радиан.

Ответ: $135^\circ$.

4. Найти значения x, при которых значения производной функции

$f(x) = \ln(3x + 1)$

положительны.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых значения производной функции $f(x) = \ln(3x + 1)$ положительны, необходимо сначала найти производную этой функции, а затем решить неравенство $f'(x) > 0$.

1. Нахождение области определения функции.
Так как аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным, имеем:
$3x + 1 > 0$
$3x > -1$
$x > -\frac{1}{3}$
Таким образом, область определения функции $f(x)$ есть интервал $(-\frac{1}{3}; +\infty)$.

2. Нахождение производной функции.
Функция $f(x) = \ln(3x + 1)$ является сложной функцией. Для нахождения ее производной используем правило дифференцирования сложной функции: $(\ln(u))' = \frac{1}{u} \cdot u'$.
В данном случае $u = 3x + 1$, тогда $u' = (3x + 1)' = 3$.
Получаем производную:
$f'(x) = \frac{1}{3x + 1} \cdot (3x + 1)' = \frac{1}{3x + 1} \cdot 3 = \frac{3}{3x + 1}$.

3. Решение неравенства.
Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:
$\frac{3}{3x + 1} > 0$
Числитель дроби равен 3, что является положительным числом. Чтобы вся дробь была положительной, ее знаменатель также должен быть положительным:
$3x + 1 > 0$
$3x > -1$
$x > -\frac{1}{3}$

Полученное множество значений $x$ полностью совпадает с областью определения исходной функции.

Ответ: значения производной функции положительны при $x \in (-\frac{1}{3}; +\infty)$.