Номер 22, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Вопросы к главе II - номер 22, страница 102.

Условие.

22. Сформулировать свойства предела функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Свойства пределов функций, также известные как теоремы о пределах, определяют, как ведут себя пределы при арифметических операциях и в других ситуациях. Следующие свойства сформулированы в предположении, что функции $f(x)$ и $g(x)$ имеют конечные пределы в точке $a$ (которая может быть числом или $\pm\infty$):

$\lim_{x \to a} f(x) = A$ и $\lim_{x \to a} g(x) = B$, где $A$ и $B$ — конечные числа.

1. Единственность предела

Если предел функции в точке существует, то он единственен. То есть, функция не может стремиться к двум разным пределам в одной и той же точке.

2. Предел постоянной функции

Предел постоянной величины равен самой этой величине:

$\lim_{x \to a} C = C$, где $C$ — константа.

3. Арифметические свойства пределов

• Предел суммы и разности: Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов.

  $\lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x) = A \pm B$

• Предел произведения: Предел произведения двух функций равен произведению их пределов.

  $\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) = A \cdot B$

  Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

  $\lim_{x \to a} (C \cdot f(x)) = C \cdot \lim_{x \to a} f(x) = C \cdot A$

• Предел частного: Предел частного (дроби) двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю.

  $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} = \frac{A}{B}$, при условии, что $B \neq 0$.

4. Предел степенной и степенно-показательной функции

• Предел степени: Предел степени функции равен той же степени предела основания.

  $\lim_{x \to a} [f(x)]^n = [\lim_{x \to a} f(x)]^n = A^n$, для целого $n$.

• Предел степенно-показательной функции: Если $A > 0$, то предел существует и равен:

  $\lim_{x \to a} [f(x)]^{g(x)} = [\lim_{x \to a} f(x)]^{\lim_{x \to a} g(x)} = A^B$

5. Свойства пределов, связанные с неравенствами

• Переход к пределу в неравенстве: Если в некоторой проколотой окрестности точки $a$ выполняется неравенство $f(x) \le g(x)$ и существуют пределы обеих функций в этой точке, то их пределы удовлетворяют тому же неравенству:

  $\lim_{x \to a} f(x) \le \lim_{x \to a} g(x)$, то есть $A \le B$.

• Теорема о сжатой функции (о двух милиционерах): Если в некоторой проколотой окрестности точки $a$ для трех функций выполняются неравенства $h(x) \le f(x) \le g(x)$, и при этом пределы "ограничивающих" функций $h(x)$ и $g(x)$ в точке $a$ существуют и равны друг другу: $\lim_{x \to a} h(x) = \lim_{x \to a} g(x) = L$, то предел "сжатой" функции $f(x)$ в точке $a$ также существует и равен этому же значению:

  $\lim_{x \to a} f(x) = L$

6. Предел сложной функции

Пусть существует предел "внутренней" функции $\lim_{x \to a} g(x) = B$, и "внешняя" функция $f(y)$ является непрерывной в точке $y=B$. Тогда существует предел сложной функции $f(g(x))$ в точке $a$, и он равен значению внешней функции в точке, равной пределу внутренней:

$\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(\lim_{x \to a} g(x)) = f(B)$

Ответ: Основные свойства предела функции: 1. Единственность предела. 2. Предел константы равен самой константе. 3. Арифметические свойства для суммы, разности, произведения и частного (при условии, что предел знаменателя отличен от нуля). 4. Свойства, связанные с неравенствами (переход к пределу в неравенстве, теорема о двух милиционерах). 5. Теорема о пределе сложной функции (при условии непрерывности внешней функции).