Номер 22, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Вопросы к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 22, страница 102.
№22 (с. 102)
Условие. №22 (с. 102)
скриншот условия

22. Сформулировать свойства предела функции.
Решение 1. №22 (с. 102)

Решение 2. №22 (с. 102)

Решение 3. №22 (с. 102)
Свойства пределов функций, также известные как теоремы о пределах, определяют, как ведут себя пределы при арифметических операциях и в других ситуациях. Следующие свойства сформулированы в предположении, что функции $f(x)$ и $g(x)$ имеют конечные пределы в точке $a$ (которая может быть числом или $\pm\infty$):
$\lim_{x \to a} f(x) = A$ и $\lim_{x \to a} g(x) = B$, где $A$ и $B$ — конечные числа.
1. Единственность предела
Если предел функции в точке существует, то он единственен. То есть, функция не может стремиться к двум разным пределам в одной и той же точке.
2. Предел постоянной функции
Предел постоянной величины равен самой этой величине:
$\lim_{x \to a} C = C$, где $C$ — константа.
3. Арифметические свойства пределов
- Предел суммы и разности: Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов.
$\lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x) = A \pm B$
- Предел произведения: Предел произведения двух функций равен произведению их пределов.
$\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) = A \cdot B$
Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
$\lim_{x \to a} (C \cdot f(x)) = C \cdot \lim_{x \to a} f(x) = C \cdot A$
- Предел частного: Предел частного (дроби) двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю.
$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} = \frac{A}{B}$, при условии, что $B \neq 0$.
4. Предел степенной и степенно-показательной функции
- Предел степени: Предел степени функции равен той же степени предела основания.
$\lim_{x \to a} [f(x)]^n = [\lim_{x \to a} f(x)]^n = A^n$, для целого $n$.
- Предел степенно-показательной функции: Если $A > 0$, то предел существует и равен:
$\lim_{x \to a} [f(x)]^{g(x)} = [\lim_{x \to a} f(x)]^{\lim_{x \to a} g(x)} = A^B$
5. Свойства пределов, связанные с неравенствами
- Переход к пределу в неравенстве: Если в некоторой проколотой окрестности точки $a$ выполняется неравенство $f(x) \le g(x)$ и существуют пределы обеих функций в этой точке, то их пределы удовлетворяют тому же неравенству:
$\lim_{x \to a} f(x) \le \lim_{x \to a} g(x)$, то есть $A \le B$.
- Теорема о сжатой функции (о двух милиционерах): Если в некоторой проколотой окрестности точки $a$ для трех функций выполняются неравенства $h(x) \le f(x) \le g(x)$, и при этом пределы "ограничивающих" функций $h(x)$ и $g(x)$ в точке $a$ существуют и равны друг другу: $\lim_{x \to a} h(x) = \lim_{x \to a} g(x) = L$, то предел "сжатой" функции $f(x)$ в точке $a$ также существует и равен этому же значению:
$\lim_{x \to a} f(x) = L$
6. Предел сложной функции
Пусть существует предел "внутренней" функции $\lim_{x \to a} g(x) = B$, и "внешняя" функция $f(y)$ является непрерывной в точке $y=B$. Тогда существует предел сложной функции $f(g(x))$ в точке $a$, и он равен значению внешней функции в точке, равной пределу внутренней:
$\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(\lim_{x \to a} g(x)) = f(B)$
Ответ: Основные свойства предела функции: 1. Единственность предела. 2. Предел константы равен самой константе. 3. Арифметические свойства для суммы, разности, произведения и частного (при условии, что предел знаменателя отличен от нуля). 4. Свойства, связанные с неравенствами (переход к пределу в неравенстве, теорема о двух милиционерах). 5. Теорема о пределе сложной функции (при условии непрерывности внешней функции).
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 22 расположенного на странице 102 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №22 (с. 102), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.