Номер 18, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Вопросы к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 18, страница 102.
№18 (с. 102)
Условие. №18 (с. 102)
скриншот условия

18. Вывести формулу для нахождения производной функции $y = \text{tg } x$; $y = \text{ctg } x$.
Решение 1. №18 (с. 102)

Решение 2. №18 (с. 102)

Решение 3. №18 (с. 102)
y = tg x
Для того чтобы вывести формулу производной функции $y = \tg x$, представим тангенс как отношение синуса к косинусу: $y = \frac{\sin x}{\cos x}$. Далее воспользуемся правилом дифференцирования частного (формулой производной дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В нашем случае, пусть $u(x) = \sin x$ и $v(x) = \cos x$. Нам известны производные этих функций: $u' = (\sin x)' = \cos x$ $v' = (\cos x)' = -\sin x$
Подставим эти выражения в формулу производной частного: $(\tg x)' = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \frac{(\sin x)' \cdot \cos x - \sin x \cdot (\cos x)'}{(\cos x)^2} = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}$
Теперь упростим полученное выражение в числителе: $\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$
Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, мы получаем конечный результат: $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$
Ответ: $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
y = ctg x
Аналогично, для вывода формулы производной функции $y = \ctg x$, представим котангенс как отношение косинуса к синусу: $y = \frac{\cos x}{\sin x}$. Снова используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В этом случае, пусть $u(x) = \cos x$ и $v(x) = \sin x$. Их производные: $u' = (\cos x)' = -\sin x$ $v' = (\sin x)' = \cos x$
Подставляем эти выражения в формулу: $(\ctg x)' = \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)' = \frac{(\cos x)' \cdot \sin x - \cos x \cdot (\sin x)'}{(\sin x)^2} = \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x}$
Упростим числитель, вынеся знак "минус" за скобки: $\frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем: $(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$
Ответ: $(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 18 расположенного на странице 102 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №18 (с. 102), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.