Номер 18, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Вопросы к главе II - номер 18, страница 102.

Условие.

18. Вывести формулу для нахождения производной функции $y = \text{tg } x$; $y = \text{ctg } x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

y = tg x

Для того чтобы вывести формулу производной функции $y = \tg x$, представим тангенс как отношение синуса к косинусу: $y = \frac{\sin x}{\cos x}$. Далее воспользуемся правилом дифференцирования частного (формулой производной дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае, пусть $u(x) = \sin x$ и $v(x) = \cos x$. Нам известны производные этих функций: $u' = (\sin x)' = \cos x$ $v' = (\cos x)' = -\sin x$

Подставим эти выражения в формулу производной частного: $(\tg x)' = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \frac{(\sin x)' \cdot \cos x - \sin x \cdot (\cos x)'}{(\cos x)^2} = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}$

Теперь упростим полученное выражение в числителе: $\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$

Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, мы получаем конечный результат: $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

Ответ: $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

y = ctg x

Аналогично, для вывода формулы производной функции $y = \ctg x$, представим котангенс как отношение косинуса к синусу: $y = \frac{\cos x}{\sin x}$. Снова используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В этом случае, пусть $u(x) = \cos x$ и $v(x) = \sin x$. Их производные: $u' = (\cos x)' = -\sin x$ $v' = (\sin x)' = \cos x$

Подставляем эти выражения в формулу: $(\ctg x)' = \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)' = \frac{(\cos x)' \cdot \sin x - \cos x \cdot (\sin x)'}{(\sin x)^2} = \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x}$

Упростим числитель, вынеся знак "минус" за скобки: $\frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем: $(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Ответ: $(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.