Номер 24, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Вопросы к главе II - номер 24, страница 102.

Условие.

24. Чему равна производная функции $y = \arcsin x$? $y = \operatorname{arctg} x$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

y = arcsin x?

Для нахождения производной функции $y = \arcsin x$ воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции. Если $y = \arcsin x$, то это эквивалентно тому, что $x = \sin y$, при условии, что $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Формула для производной обратной функции выглядит так: $y'(x) = \frac{1}{x'(y)}$

Сначала найдем производную функции $x = \sin y$ по переменной $y$: $x'(y) = (\sin y)' = \cos y$

Теперь, согласно формуле, производная $y'(x)$ равна: $(\arcsin x)' = \frac{1}{\cos y}$

Чтобы получить ответ, выраженный через $x$, нам нужно выразить $\cos y$ через $x$. Мы знаем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$. Из этого тождества следует, что $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$.

Поскольку $x = \sin y$, мы можем переписать это как $\cos^2 y = 1 - x^2$. Функция $y = \arcsin x$ имеет область значений $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. В этом интервале косинус является неотрицательной функцией ($\cos y \ge 0$), поэтому мы выбираем положительное значение корня: $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$

Подставляем полученное выражение в нашу формулу для производной: $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

Эта производная определена при $1-x^2 > 0$, то есть для всех $x \in (-1, 1)$.

Ответ: $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

y = arctg x?

Для нахождения производной функции $y = \operatorname{arctg} x$ (арктангенс $x$) мы также используем правило дифференцирования обратной функции. Если $y = \operatorname{arctg} x$, то $x = \operatorname{tg} y$, при условии, что $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Формула для производной обратной функции: $y'(x) = \frac{1}{x'(y)}$

Найдем производную функции $x = \operatorname{tg} y$ по переменной $y$: $x'(y) = (\operatorname{tg} y)' = \frac{1}{\cos^2 y}$

Чтобы выразить производную через $x$, воспользуемся тригонометрическим тождеством: $1 + \operatorname{tg}^2 y = \frac{1}{\cos^2 y}$. Поскольку $x = \operatorname{tg} y$, мы можем записать: $x'(y) = 1 + \operatorname{tg}^2 y = 1 + x^2$.

Теперь подставим это выражение в формулу для производной $y'(x)$: $(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1 + x^2}$

Эта производная определена для всех действительных чисел $x$, так как знаменатель $1+x^2$ никогда не равен нулю.

Ответ: $(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1 + x^2}$