Номер 24, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Вопросы к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 24, страница 102.
№24 (с. 102)
Условие. №24 (с. 102)
скриншот условия

24. Чему равна производная функции $y = \arcsin x$? $y = \operatorname{arctg} x$?
Решение 1. №24 (с. 102)

Решение 2. №24 (с. 102)

Решение 3. №24 (с. 102)
y = arcsin x?
Для нахождения производной функции $y = \arcsin x$ воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции. Если $y = \arcsin x$, то это эквивалентно тому, что $x = \sin y$, при условии, что $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Формула для производной обратной функции выглядит так: $y'(x) = \frac{1}{x'(y)}$
Сначала найдем производную функции $x = \sin y$ по переменной $y$: $x'(y) = (\sin y)' = \cos y$
Теперь, согласно формуле, производная $y'(x)$ равна: $(\arcsin x)' = \frac{1}{\cos y}$
Чтобы получить ответ, выраженный через $x$, нам нужно выразить $\cos y$ через $x$. Мы знаем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$. Из этого тождества следует, что $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$.
Поскольку $x = \sin y$, мы можем переписать это как $\cos^2 y = 1 - x^2$. Функция $y = \arcsin x$ имеет область значений $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. В этом интервале косинус является неотрицательной функцией ($\cos y \ge 0$), поэтому мы выбираем положительное значение корня: $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$
Подставляем полученное выражение в нашу формулу для производной: $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
Эта производная определена при $1-x^2 > 0$, то есть для всех $x \in (-1, 1)$.
Ответ: $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
y = arctg x?
Для нахождения производной функции $y = \operatorname{arctg} x$ (арктангенс $x$) мы также используем правило дифференцирования обратной функции. Если $y = \operatorname{arctg} x$, то $x = \operatorname{tg} y$, при условии, что $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Формула для производной обратной функции: $y'(x) = \frac{1}{x'(y)}$
Найдем производную функции $x = \operatorname{tg} y$ по переменной $y$: $x'(y) = (\operatorname{tg} y)' = \frac{1}{\cos^2 y}$
Чтобы выразить производную через $x$, воспользуемся тригонометрическим тождеством: $1 + \operatorname{tg}^2 y = \frac{1}{\cos^2 y}$. Поскольку $x = \operatorname{tg} y$, мы можем записать: $x'(y) = 1 + \operatorname{tg}^2 y = 1 + x^2$.
Теперь подставим это выражение в формулу для производной $y'(x)$: $(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1 + x^2}$
Эта производная определена для всех действительных чисел $x$, так как знаменатель $1+x^2$ никогда не равен нулю.
Ответ: $(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1 + x^2}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 24 расположенного на странице 102 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №24 (с. 102), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.