Номер 3, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 2. Производная и её геометрический смысл. Проверь себя! - номер 3, страница 102.

Условие.

3. Найти угол между касательной к графику функции $y = x^4 - 2x^3 + 3$ в точке с абсциссой $x_0 = \frac{1}{2}$ и осью $Ox$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Угол $\alpha$ между касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и положительным направлением оси Ox определяется через тангенс этого угла. Тангенс угла наклона касательной, также известный как угловой коэффициент $k$, равен значению производной функции в точке касания $x_0$.

Связь между углом и производной выражается формулой: $k = \tan(\alpha) = f'(x_0)$.

Нам дана функция $y = x^4 - 2x^3 + 3$ и точка с абсциссой $x_0 = \frac{1}{2}$.

1. Найдем производную функции $y=f(x)$.

Используя правила дифференцирования, находим производную $y'$:

$y' = (x^4 - 2x^3 + 3)' = (x^4)' - (2x^3)' + (3)' = 4x^{3} - 2 \cdot 3x^{2} + 0 = 4x^3 - 6x^2$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{2}$.

Подставим значение $x_0 = \frac{1}{2}$ в выражение для производной, чтобы найти угловой коэффициент $k$ касательной:

$k = y'(\frac{1}{2}) = 4 \left(\frac{1}{2}\right)^3 - 6 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 4 \cdot \frac{1}{8} - 6 \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{8} - \frac{6}{4} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{2}{2} = -1$.

3. Найдем искомый угол.

Мы выяснили, что угловой коэффициент касательной равен -1. Следовательно, тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ox также равен -1:

$\tan(\alpha) = -1$.

Угол $\alpha$ (обычно ищется в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$), для которого тангенс равен -1, это $135^\circ$ или $\frac{3\pi}{4}$ радиан.

Ответ: $135^\circ$.