Номер 3, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Проверь себя!. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 3, страница 102.
№3 (с. 102)
Условие. №3 (с. 102)
скриншот условия

3. Найти угол между касательной к графику функции $y = x^4 - 2x^3 + 3$ в точке с абсциссой $x_0 = \frac{1}{2}$ и осью $Ox$.
Решение 1. №3 (с. 102)

Решение 2. №3 (с. 102)

Решение 3. №3 (с. 102)
Угол $\alpha$ между касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и положительным направлением оси Ox определяется через тангенс этого угла. Тангенс угла наклона касательной, также известный как угловой коэффициент $k$, равен значению производной функции в точке касания $x_0$.
Связь между углом и производной выражается формулой: $k = \tan(\alpha) = f'(x_0)$.
Нам дана функция $y = x^4 - 2x^3 + 3$ и точка с абсциссой $x_0 = \frac{1}{2}$.
1. Найдем производную функции $y=f(x)$.
Используя правила дифференцирования, находим производную $y'$:
$y' = (x^4 - 2x^3 + 3)' = (x^4)' - (2x^3)' + (3)' = 4x^{3} - 2 \cdot 3x^{2} + 0 = 4x^3 - 6x^2$.
2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{2}$.
Подставим значение $x_0 = \frac{1}{2}$ в выражение для производной, чтобы найти угловой коэффициент $k$ касательной:
$k = y'(\frac{1}{2}) = 4 \left(\frac{1}{2}\right)^3 - 6 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 4 \cdot \frac{1}{8} - 6 \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{8} - \frac{6}{4} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{2}{2} = -1$.
3. Найдем искомый угол.
Мы выяснили, что угловой коэффициент касательной равен -1. Следовательно, тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ox также равен -1:
$\tan(\alpha) = -1$.
Угол $\alpha$ (обычно ищется в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$), для которого тангенс равен -1, это $135^\circ$ или $\frac{3\pi}{4}$ радиан.
Ответ: $135^\circ$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 3 расположенного на странице 102 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3 (с. 102), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.