Номер 23, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе II. Глава 2. Производная и её геометрический смысл - номер 23, страница 102.

Условие.

23. Сформулировать свойства функций, непрерывных на отрезке.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Функции, непрерывные на замкнутом отрезке $[a, b]$, обладают рядом важных свойств, которые формулируются в виде следующих теорем:

Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности функции). Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то она ограничена на этом отрезке. Это означает, что существует такое число $M > 0$, что для всех $x \in [a, b]$ выполняется неравенство $|f(x)| \le M$. Иначе говоря, множество значений функции на этом отрезке имеет и верхнюю, и нижнюю границу.

Ответ: Функция, непрерывная на отрезке, является ограниченной на этом отрезке.

Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении наибольшего и наименьшего значений). Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то она достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений. Это означает, что существуют такие точки $x_{\min} \in [a, b]$ и $x_{\max} \in [a, b]$, что для любого $x \in [a, b]$ выполняются неравенства $f(x_{\min}) \le f(x) \le f(x_{\max})$. Значения $m = f(x_{\min})$ и $M = f(x_{\max})$ являются соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции на отрезке.

Ответ: Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений.

Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении. Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и на его концах принимает значения $f(a) = A$ и $f(b) = B$, то для любого числа $C$, заключенного между $A$ и $B$, найдется такая точка $c \in (a, b)$, что $f(c) = C$. Важным следствием этой теоремы является то, что непрерывная на отрезке функция принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значением.

Следствие из теоремы Больцано-Коши (теорема о нуле функции). Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и принимает на его концах значения разных знаков (то есть $f(a) \cdot f(b) < 0$), то на интервале $(a, b)$ существует по крайней мере одна точка $c$, в которой функция обращается в ноль: $f(c) = 0$.

Ответ: Функция, непрерывная на отрезке, принимает на нём все значения между её наименьшим и наибольшим значениями. В частности, если на концах отрезка значения функции имеют разные знаки, то внутри этого отрезка существует хотя бы один корень уравнения $f(x)=0$.

Теорема Кантора о равномерной непрерывности. Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то она равномерно непрерывна на этом отрезке. Это означает, что для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $\delta > 0$, что для любых двух точек $x_1, x_2 \in [a, b]$, удовлетворяющих условию $|x_1 - x_2| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$. Ключевое отличие от обычной непрерывности в точке заключается в том, что здесь $\delta$ является единым для всех точек отрезка и зависит только от $\varepsilon$.

Ответ: Функция, непрерывная на отрезке, является равномерно непрерывной на этом отрезке.