Страница 100 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

253. 1) $y = \cos^2 3x;$ 2) $y = \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2};$

3) $\sin(2x^2 - 3x);$ 4) $\cos(x + 2x^3);$ 5) $e^{\operatorname{tg} x};$

6) $\cos(e^x);$ 7) $3^{x^2};$ 8) $2^{\cos x}.$

1) Для нахождения производной функции $y = \cos^2(3x)$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом).
Представим функцию в виде $y = u^2$, где $u = \cos(v)$, а $v = 3x$.
Производная $y'$ находится как произведение производных: $y' = (u^2)'_u \cdot (\cos(v))'_v \cdot (3x)'_x$.
Находим каждую производную по отдельности:
$(u^2)'_u = 2u = 2\cos(3x)$
$(\cos(v))'_v = -\sin(v) = -\sin(3x)$
$(3x)'_x = 3$
Перемножаем полученные результаты:
$y' = 2\cos(3x) \cdot (-\sin(3x)) \cdot 3 = -6\sin(3x)\cos(3x)$.
Используя формулу синуса двойного угла $2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$, упростим выражение:
$y' = -3 \cdot (2\sin(3x)\cos(3x)) = -3\sin(2 \cdot 3x) = -3\sin(6x)$.
Ответ: $y' = -3\sin(6x)$.

2) Для нахождения производной функции $y = \text{tg}^2 \frac{x}{2}$ применим цепное правило.
Функцию можно представить как $y = u^2$, где $u = \text{tg}(v)$, а $v = \frac{x}{2}$.
Производная $y'$ равна $y' = (u^2)'_u \cdot (\text{tg}(v))'_v \cdot (\frac{x}{2})'_x$.
Находим производные:
$(u^2)'_u = 2u = 2\text{tg}(\frac{x}{2})$
$(\text{tg}(v))'_v = \frac{1}{\cos^2(v)} = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})}$
$(\frac{x}{2})'_x = \frac{1}{2}$
Перемножаем их:
$y' = 2\text{tg}(\frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\text{tg}(\frac{x}{2})}{\cos^2(\frac{x}{2})}$.
Ответ: $y' = \frac{\text{tg}(\frac{x}{2})}{\cos^2(\frac{x}{2})}$.

3) Находим производную функции $y = \sin(2x^2 - 3x)$ по правилу дифференцирования сложной функции.
Пусть $u = 2x^2 - 3x$, тогда $y = \sin(u)$.
Производная $y'$ вычисляется по формуле $y' = (\sin(u))'_u \cdot (u)'_x$.
Находим производные:
$(\sin(u))'_u = \cos(u) = \cos(2x^2 - 3x)$
$(u)'_x = (2x^2 - 3x)' = 4x - 3$
Следовательно, производная исходной функции равна:
$y' = \cos(2x^2 - 3x) \cdot (4x - 3) = (4x - 3)\cos(2x^2 - 3x)$.
Ответ: $y' = (4x - 3)\cos(2x^2 - 3x)$.

4) Для нахождения производной функции $y = \cos(x + 2x^3)$ используем цепное правило.
Пусть $u = x + 2x^3$, тогда $y = \cos(u)$.
Производная $y'$ равна $y' = (\cos(u))'_u \cdot (u)'_x$.
Находим производные:
$(\cos(u))'_u = -\sin(u) = -\sin(x + 2x^3)$
$(u)'_x = (x + 2x^3)' = 1 + 6x^2$
Таким образом, производная исходной функции:
$y' = -\sin(x + 2x^3) \cdot (1 + 6x^2) = -(1 + 6x^2)\sin(x + 2x^3)$.
Ответ: $y' = -(1 + 6x^2)\sin(x + 2x^3)$.

5) Находим производную функции $y = e^{\text{tg } x}$ по правилу дифференцирования сложной функции.
Пусть $u = \text{tg } x$, тогда $y = e^u$.
Производная $y'$ вычисляется по формуле $y' = (e^u)'_u \cdot (u)'_x$.
Находим производные:
$(e^u)'_u = e^u = e^{\text{tg } x}$
$(\text{tg } x)'_x = \frac{1}{\cos^2 x}$
Перемножая результаты, получаем:
$y' = e^{\text{tg } x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{e^{\text{tg } x}}{\cos^2 x}$.
Ответ: $y' = \frac{e^{\text{tg } x}}{\cos^2 x}$.

6) Для нахождения производной функции $y = \cos(e^x)$ воспользуемся цепным правилом.
Пусть $u = e^x$, тогда $y = \cos(u)$.
Производная $y'$ равна $y' = (\cos(u))'_u \cdot (u)'_x$.
Находим производные:
$(\cos(u))'_u = -\sin(u) = -\sin(e^x)$
$(u)'_x = (e^x)' = e^x$
Следовательно, производная исходной функции:
$y' = -\sin(e^x) \cdot e^x = -e^x\sin(e^x)$.
Ответ: $y' = -e^x\sin(e^x)$.

7) Находим производную функции $y = 3^{x^2}$. Это сложная функция вида $a^u$.
Используем формулу производной показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln(a) \cdot u'(x)$.
В нашем случае $a = 3$ и $u(x) = x^2$.
Находим производную показателя степени: $u'(x) = (x^2)' = 2x$.
Подставляем в формулу:
$y' = 3^{x^2} \cdot \ln(3) \cdot (2x) = 2x \cdot 3^{x^2} \ln(3)$.
Ответ: $y' = 2x \cdot 3^{x^2} \ln(3)$.

8) Находим производную функции $y = 2^{\cos x}$. Это сложная функция вида $a^u$.
Используем формулу производной показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln(a) \cdot u'(x)$.
Здесь $a = 2$ и $u(x) = \cos x$.
Находим производную показателя степени: $u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.
Подставляем в формулу:
$y' = 2^{\cos x} \cdot \ln(2) \cdot (-\sin x) = -2^{\cos x} \sin x \ln(2)$.
Ответ: $y' = -2^{\cos x} \sin x \ln(2)$.

254. Найти значения x, при которых значение производной функции f(x) равно нулю; положительно; отрицательно, если:

1) $f(x) = 2^x + 2^{-x}$;

2) $f(x) = 3^{2x} - 2x \ln 3$;

3) $f(x) = x + \ln 2x$;

4) $f(x) = x + \ln(2x + 1)$;

5) $f(x) = 6x - x\sqrt{x}$;

6) $f(x) = (x + 1)\sqrt{x + 1 - 3x}$.

1) Дана функция $f(x) = 2^x + 2^{-x}$.

Сначала найдем ее производную. Используя правило дифференцирования показательной функции $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$, получаем:

$f'(x) = (2^x)' + (2^{-x})' = 2^x \ln 2 + 2^{-x} \ln 2 \cdot (-1) = \ln 2 (2^x - 2^{-x})$.

Теперь найдем значения $x$, при которых производная равна нулю, положительна и отрицательна.

• Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

$\ln 2 (2^x - 2^{-x}) = 0$. Так как $\ln 2 \neq 0$, то $2^x - 2^{-x} = 0$.

$2^x = 2^{-x} \implies 2^x = \frac{1}{2^x} \implies 2^{2x} = 1 \implies 2^{2x} = 2^0$.

$2x = 0 \implies x = 0$.

• Производная положительна: $f'(x) > 0$.

$\ln 2 (2^x - 2^{-x}) > 0$. Так как $\ln 2 > 0$, то $2^x - 2^{-x} > 0$.

$2^x > 2^{-x} \implies 2^{2x} > 1 \implies 2x > 0 \implies x > 0$.

• Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.

$\ln 2 (2^x - 2^{-x}) < 0 \implies 2^x - 2^{-x} < 0$.

$2^x < 2^{-x} \implies 2^{2x} < 1 \implies 2x < 0 \implies x < 0$.

Ответ: производная равна нулю при $x=0$; положительна при $x \in (0; +\infty)$; отрицательна при $x \in (-\infty; 0)$.

2) Дана функция $f(x) = 3^{2x} - 2x \ln 3$.

Найдем производную функции, используя правило для сложной показательной функции и производную линейной функции:

$f'(x) = (3^{2x})' - (2x \ln 3)' = 3^{2x} \ln 3 \cdot (2x)' - 2 \ln 3 = 3^{2x} \ln 3 \cdot 2 - 2 \ln 3 = 2 \ln 3 (3^{2x} - 1)$.

Исследуем знак производной.

• Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

$2 \ln 3 (3^{2x} - 1) = 0$. Так как $2 \ln 3 \neq 0$, то $3^{2x} - 1 = 0$.

$3^{2x} = 1 \implies 3^{2x} = 3^0 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.

• Производная положительна: $f'(x) > 0$.

$2 \ln 3 (3^{2x} - 1) > 0$. Так как $2 \ln 3 > 0$, то $3^{2x} - 1 > 0$.

$3^{2x} > 1 \implies 3^{2x} > 3^0 \implies 2x > 0 \implies x > 0$.

• Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.

$2 \ln 3 (3^{2x} - 1) < 0 \implies 3^{2x} - 1 < 0$.

$3^{2x} < 1 \implies 3^{2x} < 3^0 \implies 2x < 0 \implies x < 0$.

Ответ: производная равна нулю при $x=0$; положительна при $x \in (0; +\infty)$; отрицательна при $x \in (-\infty; 0)$.

3) Дана функция $f(x) = x + \ln(2x)$.

Область определения функции: аргумент логарифма должен быть строго положительным, т.е. $2x > 0 \implies x > 0$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x)' + (\ln(2x))' = 1 + \frac{1}{2x} \cdot (2x)' = 1 + \frac{2}{2x} = 1 + \frac{1}{x}$.

• Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

$1 + \frac{1}{x} = 0 \implies \frac{1}{x} = -1 \implies x = -1$.

Это значение не входит в область определения функции ($x > 0$), следовательно, производная нигде не равна нулю.

• Производная положительна: $f'(x) > 0$.

$1 + \frac{1}{x} > 0$. В области определения $x > 0$, поэтому $\frac{1}{x}$ также всегда положительно. Сумма двух положительных чисел ($1$ и $\frac{1}{x}$) всегда положительна. Следовательно, $f'(x) > 0$ при всех $x$ из области определения.

• Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.

$1 + \frac{1}{x} < 0$. Как показано выше, в области определения $f'(x)$ всегда положительна, поэтому это неравенство не имеет решений.

Ответ: производная положительна при $x \in (0; +\infty)$; не существует значений $x$, при которых производная равна нулю или отрицательна.

4) Дана функция $f(x) = x + \ln(2x + 1)$.

Область определения функции: $2x + 1 > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -1/2$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x)' + (\ln(2x+1))' = 1 + \frac{1}{2x+1} \cdot (2x+1)' = 1 + \frac{2}{2x+1}$.

• Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

$1 + \frac{2}{2x+1} = 0 \implies \frac{2}{2x+1} = -1 \implies 2 = -(2x+1) \implies 2 = -2x-1 \implies 3 = -2x \implies x = -3/2$.

Это значение $x=-1.5$ не входит в область определения ($x > -0.5$), следовательно, производная нигде не равна нулю.

• Производная положительна: $f'(x) > 0$.

$1 + \frac{2}{2x+1} > 0$. В области определения $x > -1/2$, знаменатель $2x+1$ положителен. Значит, дробь $\frac{2}{2x+1}$ тоже положительна. Сумма двух положительных чисел ($1$ и $\frac{2}{2x+1}$) всегда положительна. Следовательно, $f'(x) > 0$ при всех $x$ из области определения.

• Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.

Так как $f'(x)$ всегда положительна в области определения, это неравенство не имеет решений.

Ответ: производная положительна при $x \in (-1/2; +\infty)$; не существует значений $x$, при которых производная равна нулю или отрицательна.

5) Дана функция $f(x) = 6x - x\sqrt{x}$.

Область определения функции: $x \ge 0$. Перепишем функцию в виде $f(x) = 6x - x^{3/2}$.

Найдем производную: $f'(x) = (6x)' - (x^{3/2})' = 6 - \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = 6 - \frac{3}{2}x^{1/2} = 6 - \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

• Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

$6 - \frac{3}{2}\sqrt{x} = 0 \implies 6 = \frac{3}{2}\sqrt{x} \implies 12 = 3\sqrt{x} \implies \sqrt{x} = 4$.

Возводим в квадрат: $x = 16$. Это значение входит в область определения.

• Производная положительна: $f'(x) > 0$.

$6 - \frac{3}{2}\sqrt{x} > 0 \implies 6 > \frac{3}{2}\sqrt{x} \implies 4 > \sqrt{x}$.

Так как обе части неравенства неотрицательны, можем возвести в квадрат: $16 > x$. С учетом области определения ($x \ge 0$), получаем $0 \le x < 16$.

• Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.

$6 - \frac{3}{2}\sqrt{x} < 0 \implies 6 < \frac{3}{2}\sqrt{x} \implies 4 < \sqrt{x}$.

Возводим в квадрат: $16 < x$.

Ответ: производная равна нулю при $x=16$; положительна при $x \in [0; 16)$; отрицательна при $x \in (16; +\infty)$.

6) Дана функция $f(x) = (x + 1)\sqrt{x + 1} - 3x$.

Функцию можно записать как $f(x) = (x+1)^{3/2} - 3x$. Область определения функции: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Найдем производную функции: $f'(x) = ((x+1)^{3/2})' - (3x)' = \frac{3}{2}(x+1)^{1/2} \cdot (x+1)' - 3 = \frac{3}{2}\sqrt{x+1} - 3$.

• Производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

$\frac{3}{2}\sqrt{x+1} - 3 = 0 \implies \frac{3}{2}\sqrt{x+1} = 3 \implies \sqrt{x+1} = 2$.

Возведем обе части в квадрат: $x+1 = 4 \implies x=3$. Это значение входит в область определения.

• Производная положительна: $f'(x) > 0$.

$\frac{3}{2}\sqrt{x+1} - 3 > 0 \implies \frac{3}{2}\sqrt{x+1} > 3 \implies \sqrt{x+1} > 2$.

Возведем обе части в квадрат: $x+1 > 4 \implies x > 3$.

• Производная отрицательна: $f'(x) < 0$.

$\frac{3}{2}\sqrt{x+1} - 3 < 0 \implies \frac{3}{2}\sqrt{x+1} < 3 \implies \sqrt{x+1} < 2$.

Возведем обе части в квадрат: $x+1 < 4 \implies x < 3$. С учетом области определения ($x \ge -1$), получаем $-1 \le x < 3$.

Ответ: производная равна нулю при $x=3$; положительна при $x \in (3; +\infty)$; отрицательна при $x \in [-1; 3)$.

255. Найти все значения $a$, при которых $f'(x) \geq 0$ для всех действительных значений $x$, если $f(x) = x^3 + 3x^2 + ax$.

Для того чтобы найти все значения параметра $a$, при которых $f'(x) \ge 0$ для всех действительных значений $x$, необходимо выполнить несколько шагов.

Сначала найдем производную функции $f(x) = x^3 + 3x^2 + ax$.

Используя правила дифференцирования, получаем: $f'(x) = (x^3)' + (3x^2)' + (ax)' = 3x^2 + 6x + a$.

Теперь нам нужно решить неравенство $f'(x) \ge 0$ для всех $x$. Подставим выражение для производной: $3x^2 + 6x + a \ge 0$.

Это квадратичное неравенство относительно переменной $x$. Левая часть представляет собой квадратичную функцию $g(x) = 3x^2 + 6x + a$. График этой функции — парабола.

Коэффициент при $x^2$ равен 3, что больше нуля ($3 > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Чтобы парабола с ветвями вверх была всегда неотрицательной (то есть располагалась выше оси абсцисс или касалась ее), необходимо, чтобы соответствующее квадратное уравнение $3x^2 + 6x + a = 0$ имело не более одного действительного корня. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ квадратного трехчлена меньше либо равен нулю ($D \le 0$).

Вычислим дискриминант для $3x^2 + 6x + a$: $D = b^2 - 4ac = (6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot a = 36 - 12a$.

Теперь решим неравенство $D \le 0$ относительно параметра $a$: $36 - 12a \le 0$
$36 \le 12a$
Разделим обе части на 12:
$a \ge \frac{36}{12}$
$a \ge 3$.

Таким образом, производная $f'(x)$ будет неотрицательной для всех действительных значений $x$ при всех значениях $a$, удовлетворяющих условию $a \ge 3$.

Ответ: $a \ge 3$.

256. Найти все значения $a$, при которых $f'(x) < 0$ для всех действительных значений $x$, если

$f(x) = ax^3 - 6x^2 - x.$

Дана функция $f(x) = ax^3 - 6x^2 - x$. Требуется найти все значения параметра $a$, при которых производная этой функции $f'(x)$ будет строго меньше нуля для всех действительных значений $x$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (ax^3 - 6x^2 - x)' = 3ax^2 - 12x - 1$.

Теперь нам нужно решить неравенство $f'(x) < 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$:
$3ax^2 - 12x - 1 < 0$.

Левая часть этого неравенства представляет собой квадратичную функцию от $x$. Обозначим ее $g(x) = 3ax^2 - 12x - 1$. Графиком этой функции является парабола. Чтобы эта парабола целиком лежала ниже оси абсцисс (то есть $g(x) < 0$ для всех $x$), должны выполняться два условия:

1. Коэффициент при $x^2$ должен быть отрицательным, чтобы ветви параболы были направлены вниз.
2. Квадратный трехчлен не должен иметь действительных корней, то есть его дискриминант должен быть отрицательным.

Рассмотрим отдельно случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю. Это происходит при $3a=0$, то есть $a=0$. В этом случае производная становится линейной функцией:
$f'(x) = -12x - 1$.
Неравенство $-12x - 1 < 0$ не выполняется для всех действительных $x$. Например, при $x=-2$, получаем $f'(-2) = -12(-2) - 1 = 24 - 1 = 23$, что больше нуля. Следовательно, значение $a=0$ не является решением.

Теперь вернемся к случаю, когда $a \neq 0$ и $f'(x)$ является квадратичной функцией. Применим два условия, сформулированные выше.

Условие 1: Коэффициент при $x^2$ отрицателен.
$3a < 0 \implies a < 0$.

Условие 2: Дискриминант $D$ квадратного трехчлена $3ax^2 - 12x - 1$ отрицателен.
$D = B^2 - 4AC$, где $A=3a$, $B=-12$, $C=-1$.
$D = (-12)^2 - 4 \cdot (3a) \cdot (-1) = 144 + 12a$.
Требуем, чтобы $D < 0$:
$144 + 12a < 0$
$12a < -144$
$a < \frac{-144}{12}$
$a < -12$.

Для нахождения итогового решения необходимо, чтобы оба условия выполнялись одновременно. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} a < 0 \\ a < -12 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является интервал $a < -12$. Если $a$ меньше -12, то оно автоматически меньше 0.

Ответ: $a < -12$.

257. Найти все значения $a$, при которых уравнение $f'(x)=0$ не имеет действительных корней, если:

1) $f(x) = ax^2 - \frac{1}{x^2};$

2) $f(x) = ax + \frac{1}{x};$

3) $f(x) = ax^3 + 3x^2 + 6x;$

4) $f(x) = x^3 + 6x^2 + ax.$

1)

Дана функция $f(x) = ax^2 - \frac{1}{x^2}$.
Сначала найдем производную функции $f(x)$. Область определения функции: $x \neq 0$.

$f'(x) = (ax^2 - x^{-2})' = 2ax - (-2)x^{-3} = 2ax + \frac{2}{x^3}$.

Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:

$2ax + \frac{2}{x^3} = 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{2ax^4 + 2}{x^3} = 0$

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 2ax^4 + 2 = 0 \\ x^3 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы получаем $ax^4 = -1$. Нам нужно найти значения $a$, при которых это уравнение не имеет действительных корней.

Рассмотрим два случая:
1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x^4 = -1$, или $0 = -1$, что неверно. Следовательно, при $a=0$ уравнение не имеет корней.
2. Если $a \neq 0$, можно разделить обе части на $a$: $x^4 = -\frac{1}{a}$.
Левая часть уравнения, $x^4$, всегда неотрицательна для любого действительного $x$ ($x^4 \ge 0$).
Уравнение не будет иметь действительных корней, если правая часть будет строго отрицательной:

$-\frac{1}{a} < 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{1}{a} > 0$

Это неравенство выполняется, когда $a > 0$.

Объединяя оба случая ($a=0$ и $a>0$), получаем, что уравнение $f'(x)=0$ не имеет действительных корней при $a \ge 0$.

Ответ: $a \in [0; +\infty)$.

2)

Дана функция $f(x) = ax + \frac{1}{x}$.
Найдем ее производную. Область определения: $x \neq 0$.

$f'(x) = (ax + x^{-1})' = a - 1 \cdot x^{-2} = a - \frac{1}{x^2}$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$a - \frac{1}{x^2} = 0$

$a = \frac{1}{x^2}$

$ax^2 = 1$

Нам нужно найти значения $a$, при которых это уравнение не имеет действительных корней (учитывая, что $x \neq 0$).

Рассмотрим два случая:
1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 = 1$, или $0 = 1$, что неверно. Следовательно, при $a=0$ уравнение не имеет корней.
2. Если $a \neq 0$, можно разделить на $a$: $x^2 = \frac{1}{a}$.
Левая часть, $x^2$, всегда неотрицательна для действительных $x$. Уравнение не будет иметь действительных корней, если правая часть будет отрицательной:

$\frac{1}{a} < 0$

Это неравенство выполняется, когда $a < 0$.

Объединяя оба случая ($a=0$ и $a<0$), получаем, что уравнение $f'(x)=0$ не имеет действительных корней при $a \le 0$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0]$.

3)

Дана функция $f(x) = ax^3 + 3x^2 + 6x$.
Найдем ее производную:

$f'(x) = (ax^3 + 3x^2 + 6x)' = 3ax^2 + 6x + 6$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$3ax^2 + 6x + 6 = 0$

Разделим обе части уравнения на 3:

$ax^2 + 2x + 2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Оно не имеет действительных корней, если его дискриминант отрицателен.

Рассмотрим два случая:
1. Если $a = 0$, уравнение становится линейным: $2x + 2 = 0$. Оно имеет один корень $x = -1$. Этот случай нам не подходит.
2. Если $a \neq 0$, это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot a \cdot 2 = 4 - 8a$.

Уравнение не имеет действительных корней, если $D < 0$:

$4 - 8a < 0$

$4 < 8a$

$a > \frac{4}{8}$

$a > \frac{1}{2}$

Таким образом, уравнение $f'(x)=0$ не имеет действительных корней при $a > 1/2$.

Ответ: $a \in (\frac{1}{2}; +\infty)$.

4)

Дана функция $f(x) = x^3 + 6x^2 + ax$.
Найдем ее производную:

$f'(x) = (x^3 + 6x^2 + ax)' = 3x^2 + 12x + a$.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 + 12x + a = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$ с коэффициентом при $x^2$, равным 3 (не равным нулю). Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 3 \cdot a = 144 - 12a$.

Условие отсутствия действительных корней: $D < 0$.

$144 - 12a < 0$

$144 < 12a$

$a > \frac{144}{12}$

$a > 12$

Следовательно, уравнение $f'(x)=0$ не имеет действительных корней при $a > 12$.

Ответ: $a \in (12; +\infty)$.