Номер 286, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 286, страница 120.

Условие.

286. Число 50 записать в виде суммы двух чисел, сумма кубов которых наименьшая.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть искомые числа будут $x$ и $y$. Согласно условию задачи, их сумма равна 50:

$x + y = 50$

Нам необходимо найти такие $x$ и $y$, чтобы сумма их кубов, которую мы обозначим через $S$, была наименьшей.

$S = x^3 + y^3$

Для решения задачи выразим одну переменную через другую. Из первого уравнения получаем:

$y = 50 - x$

Теперь подставим это выражение в формулу для суммы кубов. Это позволит нам представить $S$ как функцию одной переменной $x$:

$S(x) = x^3 + (50 - x)^3$

Чтобы найти наименьшее значение функции $S(x)$, необходимо найти ее производную по $x$ и приравнять ее к нулю. Это позволит найти критические точки (точки возможного экстремума).

Найдем производную $S'(x)$, используя правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования сложной функции:

$S'(x) = (x^3)' + ((50 - x)^3)' = 3x^2 + 3(50 - x)^2 \cdot (50 - x)'$

$S'(x) = 3x^2 + 3(50 - x)^2 \cdot (-1) = 3x^2 - 3(50 - x)^2$

Раскроем скобки и упростим выражение для производной:

$S'(x) = 3x^2 - 3(50^2 - 2 \cdot 50 \cdot x + x^2) = 3x^2 - 3(2500 - 100x + x^2)$

$S'(x) = 3x^2 - 7500 + 300x - 3x^2 = 300x - 7500$

Теперь приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$S'(x) = 0$

$300x - 7500 = 0$

$300x = 7500$

$x = \frac{7500}{300} = 25$

Мы получили единственную критическую точку $x = 25$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, воспользуемся второй производной.

$S''(x) = (300x - 7500)' = 300$

Поскольку вторая производная $S''(x) = 300$ является положительным числом ($300 > 0$), найденная точка $x = 25$ действительно является точкой минимума функции $S(x)$.

Зная значение $x$, найдем соответствующее значение $y$:

$y = 50 - x = 50 - 25 = 25$

Таким образом, для того чтобы сумма кубов двух чисел, дающих в сумме 50, была наименьшей, эти числа должны быть равны.

Ответ: $50 = 25 + 25$.