Номер 286, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 286, страница 120.
№286 (с. 120)
Условие. №286 (с. 120)
скриншот условия

286. Число 50 записать в виде суммы двух чисел, сумма кубов которых наименьшая.
Решение 1. №286 (с. 120)

Решение 2. №286 (с. 120)

Решение 3. №286 (с. 120)
Пусть искомые числа будут $x$ и $y$. Согласно условию задачи, их сумма равна 50:
$x + y = 50$
Нам необходимо найти такие $x$ и $y$, чтобы сумма их кубов, которую мы обозначим через $S$, была наименьшей.
$S = x^3 + y^3$
Для решения задачи выразим одну переменную через другую. Из первого уравнения получаем:
$y = 50 - x$
Теперь подставим это выражение в формулу для суммы кубов. Это позволит нам представить $S$ как функцию одной переменной $x$:
$S(x) = x^3 + (50 - x)^3$
Чтобы найти наименьшее значение функции $S(x)$, необходимо найти ее производную по $x$ и приравнять ее к нулю. Это позволит найти критические точки (точки возможного экстремума).
Найдем производную $S'(x)$, используя правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования сложной функции:
$S'(x) = (x^3)' + ((50 - x)^3)' = 3x^2 + 3(50 - x)^2 \cdot (50 - x)'$
$S'(x) = 3x^2 + 3(50 - x)^2 \cdot (-1) = 3x^2 - 3(50 - x)^2$
Раскроем скобки и упростим выражение для производной:
$S'(x) = 3x^2 - 3(50^2 - 2 \cdot 50 \cdot x + x^2) = 3x^2 - 3(2500 - 100x + x^2)$
$S'(x) = 3x^2 - 7500 + 300x - 3x^2 = 300x - 7500$
Теперь приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$S'(x) = 0$
$300x - 7500 = 0$
$300x = 7500$
$x = \frac{7500}{300} = 25$
Мы получили единственную критическую точку $x = 25$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, воспользуемся второй производной.
$S''(x) = (300x - 7500)' = 300$
Поскольку вторая производная $S''(x) = 300$ является положительным числом ($300 > 0$), найденная точка $x = 25$ действительно является точкой минимума функции $S(x)$.
Зная значение $x$, найдем соответствующее значение $y$:
$y = 50 - x = 50 - 25 = 25$
Таким образом, для того чтобы сумма кубов двух чисел, дающих в сумме 50, была наименьшей, эти числа должны быть равны.
Ответ: $50 = 25 + 25$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 286 расположенного на странице 120 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №286 (с. 120), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.