Страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

285. Найти наименьшее значение функции:

1) $x^2 + \frac{16}{x^2}$ при $x > 0;$

2) $x + \frac{4}{x}$ при $x > 0.$

1) Для нахождения наименьшего значения функции $y(x) = x^2 + \frac{16}{x^2}$ при $x > 0$ воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Для любых двух неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство $a+b \ge 2\sqrt{ab}$, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда $a=b$.

В нашем случае, поскольку по условию $x > 0$, оба слагаемых в функции, $a = x^2$ и $b = \frac{16}{x^2}$, являются положительными. Применим к ним неравенство Коши:

$x^2 + \frac{16}{x^2} \ge 2\sqrt{x^2 \cdot \frac{16}{x^2}} = 2\sqrt{16} = 2 \cdot 4 = 8$.

Таким образом, наименьшее значение, которое может принимать функция, равно 8. Это значение достигается при выполнении условия равенства слагаемых, то есть $a=b$:

$x^2 = \frac{16}{x^2}$

$x^4 = 16$

Так как $x > 0$, единственным решением является $x=2$. Проверим значение функции в этой точке: $y(2) = 2^2 + \frac{16}{2^2} = 4 + 4 = 8$.

Ответ: 8.

2) Для нахождения наименьшего значения функции $y(x) = x + \frac{4}{x}$ при $x > 0$ аналогично воспользуемся неравенством Коши. Слагаемые $a=x$ и $b=\frac{4}{x}$ положительны, так как $x > 0$.

Применяем неравенство $a+b \ge 2\sqrt{ab}$:

$x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно 4. Оно достигается, когда слагаемые равны:

$x = \frac{4}{x}$

$x^2 = 4$

Учитывая, что $x > 0$, получаем $x=2$. Проверим значение функции в этой точке: $y(2) = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$.

Ответ: 4.

286. Число 50 записать в виде суммы двух чисел, сумма кубов которых наименьшая.

Пусть искомые числа будут $x$ и $y$. Согласно условию задачи, их сумма равна 50:

$x + y = 50$

Нам необходимо найти такие $x$ и $y$, чтобы сумма их кубов, которую мы обозначим через $S$, была наименьшей.

$S = x^3 + y^3$

Для решения задачи выразим одну переменную через другую. Из первого уравнения получаем:

$y = 50 - x$

Теперь подставим это выражение в формулу для суммы кубов. Это позволит нам представить $S$ как функцию одной переменной $x$:

$S(x) = x^3 + (50 - x)^3$

Чтобы найти наименьшее значение функции $S(x)$, необходимо найти ее производную по $x$ и приравнять ее к нулю. Это позволит найти критические точки (точки возможного экстремума).

Найдем производную $S'(x)$, используя правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования сложной функции:

$S'(x) = (x^3)' + ((50 - x)^3)' = 3x^2 + 3(50 - x)^2 \cdot (50 - x)'$

$S'(x) = 3x^2 + 3(50 - x)^2 \cdot (-1) = 3x^2 - 3(50 - x)^2$

Раскроем скобки и упростим выражение для производной:

$S'(x) = 3x^2 - 3(50^2 - 2 \cdot 50 \cdot x + x^2) = 3x^2 - 3(2500 - 100x + x^2)$

$S'(x) = 3x^2 - 7500 + 300x - 3x^2 = 300x - 7500$

Теперь приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$S'(x) = 0$

$300x - 7500 = 0$

$300x = 7500$

$x = \frac{7500}{300} = 25$

Мы получили единственную критическую точку $x = 25$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, воспользуемся второй производной.

$S''(x) = (300x - 7500)' = 300$

Поскольку вторая производная $S''(x) = 300$ является положительным числом ($300 > 0$), найденная точка $x = 25$ действительно является точкой минимума функции $S(x)$.

Зная значение $x$, найдем соответствующее значение $y$:

$y = 50 - x = 50 - 25 = 25$

Таким образом, для того чтобы сумма кубов двух чисел, дающих в сумме 50, была наименьшей, эти числа должны быть равны.

Ответ: $50 = 25 + 25$.

287. Записать число 625 в виде произведения двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Пусть искомые положительные числа – это $x$ и $y$. Согласно условию задачи, их произведение равно 625.

Запишем это в виде математического уравнения:$xy = 625$

Поскольку оба числа положительны, то $x > 0$ и $y > 0$. Из этого уравнения мы можем выразить переменную $y$ через $x$:$y = \frac{625}{x}$

Нам необходимо минимизировать сумму квадратов этих чисел. Обозначим эту сумму как функцию $S$:$S = x^2 + y^2$

Чтобы найти минимум, представим $S$ как функцию одной переменной $x$, подставив в нее выражение для $y$:$S(x) = x^2 + (\frac{625}{x})^2 = x^2 + \frac{390625}{x^2}$

Для нахождения наименьшего значения функции $S(x)$ на интервале $(0, +\infty)$ необходимо найти ее точки экстремума. Для этого найдем производную функции $S(x)$ и приравняем ее к нулю.

Вычисляем производную $S'(x)$:$S'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 390625x^{-2}) = 2x + 390625 \cdot (-2)x^{-3} = 2x - \frac{781250}{x^3}$

Теперь приравняем производную к нулю для поиска критических точек:$S'(x) = 0$$2x - \frac{781250}{x^3} = 0$

Решим полученное уравнение относительно $x$:$2x = \frac{781250}{x^3}$

Так как $x > 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $x^3$:$2x^4 = 781250$$x^4 = \frac{781250}{2}$$x^4 = 390625$

Для нахождения $x$ извлечем корень четвертой степени. Мы знаем, что $625 = 25^2$, тогда $390625 = 625^2 = (25^2)^2 = 25^4$.$x = \sqrt[4]{390625} = 25$

Мы получили единственную критическую точку $x = 25$. Чтобы проверить, является ли эта точка точкой минимума, воспользуемся второй производной.$S''(x) = \frac{d}{dx}(2x - 781250x^{-3}) = 2 - 781250 \cdot (-3)x^{-4} = 2 + \frac{2343750}{x^4}$

Поскольку $x > 0$, то $x^4 > 0$, и, следовательно, $S''(x)$ всегда положительна. Это означает, что в точке $x = 25$ функция $S(x)$ достигает своего минимума.

Теперь найдем значение второго числа, $y$:$y = \frac{625}{x} = \frac{625}{25} = 25$

Таким образом, чтобы сумма квадратов двух положительных чисел, произведение которых равно 625, была наименьшей, эти числа должны быть равны 25 и 25.

Ответ: 625 = 25 ⋅ 25.

288. Из всех прямоугольников с периметром $p$ найти прямоугольник наибольшей площади.

Пусть стороны искомого прямоугольника равны $a$ и $b$.

Периметр $P$ и площадь $S$ прямоугольника определяются по формулам:

$P = 2(a + b)$

$S = a \cdot b$

Согласно условию задачи, периметр прямоугольника является заданной величиной $p$. Таким образом, мы имеем ограничение:

$2(a + b) = p$

Наша задача — найти максимальное значение площади $S$ при данном ограничении. Для этого выразим одну из сторон, например $b$, через другую сторону $a$ и константу $p$:

$a + b = \frac{p}{2}$

$b = \frac{p}{2} - a$

Теперь подставим полученное выражение для $b$ в формулу площади. Это позволит нам представить площадь как функцию одной переменной $a$:

$S(a) = a \cdot \left(\frac{p}{2} - a\right) = \frac{p}{2}a - a^2$

Функция $S(a) = -a^2 + \frac{p}{2}a$ является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при старшем члене ($a^2$) отрицателен (-1). Наибольшее значение такой функции достигается в ее вершине.

Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением $y = Ax^2 + Bx + C$, находится по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$. В нашем случае переменная — это $a$, а коэффициенты равны $A = -1$ и $B = \frac{p}{2}$.

Найдем значение стороны $a$, при котором площадь будет максимальной:

$a = -\frac{\frac{p}{2}}{2 \cdot (-1)} = -\frac{\frac{p}{2}}{-2} = \frac{p}{4}$

Теперь, зная оптимальное значение $a$, найдем соответствующее значение стороны $b$:

$b = \frac{p}{2} - a = \frac{p}{2} - \frac{p}{4} = \frac{2p-p}{4} = \frac{p}{4}$

Мы получили, что $a = b = \frac{p}{4}$. Это означает, что стороны прямоугольника равны. Прямоугольник, у которого все стороны равны, является квадратом.

Таким образом, из всех прямоугольников с заданным периметром $p$ наибольшую площадь имеет квадрат.

Ответ: Прямоугольник наибольшей площади — это квадрат со стороной, равной $\frac{p}{4}$.

289. Из всех прямоугольников, площадь которых равна $9 \text{ см}^2$, найти прямоугольник с наименьшим периметром.

Для решения этой задачи необходимо найти размеры прямоугольника, которые минимизируют его периметр при фиксированной площади. Это классическая задача на оптимизацию.

Пусть стороны искомого прямоугольника равны $a$ и $b$.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию задачи, площадь равна 9 см²: $a \cdot b = 9$

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле: $P = 2(a + b)$

Наша цель — найти наименьшее значение периметра $P$. Для этого выразим одну переменную через другую, используя уравнение для площади. Выразим сторону $b$ через сторону $a$: $b = \frac{9}{a}$

Теперь подставим это выражение в формулу периметра. В результате периметр будет функцией только одной переменной $a$: $P(a) = 2(a + \frac{9}{a})$

Чтобы найти минимальное значение функции $P(a)$, необходимо найти ее производную по переменной $a$ и приравнять ее к нулю. Это позволит нам найти критические точки функции, в которых может достигаться минимум.

Найдем производную функции $P(a)$: $P'(a) = (2a + \frac{18}{a})' = (2a)' + (18a^{-1})' = 2 - 18a^{-2} = 2 - \frac{18}{a^2}$

Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение: $2 - \frac{18}{a^2} = 0$ $2 = \frac{18}{a^2}$ $2a^2 = 18$ $a^2 = 9$

Так как $a$ — это длина стороны, она должна быть положительным числом. Следовательно, из $a^2 = 9$ мы берем только положительный корень: $a = 3$ см.

Мы нашли критическую точку. Чтобы убедиться, что это точка минимума, а не максимума, можно исследовать знак второй производной. $P''(a) = (2 - 18a^{-2})' = -18(-2)a^{-3} = \frac{36}{a^3}$ При $a = 3$, значение второй производной $P''(3) = \frac{36}{3^3} = \frac{36}{27} > 0$. Так как вторая производная положительна, точка $a=3$ действительно является точкой минимума функции периметра.

Теперь, зная значение одной стороны, найдем вторую сторону $b$: $b = \frac{9}{a} = \frac{9}{3} = 3$ см.

Получается, что стороны прямоугольника равны: $a = 3$ см и $b = 3$ см. Это означает, что искомый прямоугольник является квадратом.

Ответ: Прямоугольник с наименьшим периметром при площади 9 см² — это квадрат со стороной 3 см.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции (290–291).

290. 1) $f(x)=x-2\ln x$ на отрезке $\left[\frac{3}{2}; e\right];$

2) $f(x)=x+e^{-x}$ на отрезке $[-1; 2].$

1)

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x - 2\ln x$ на отрезке $[\frac{3}{2}; e]$, нужно выполнить следующие шаги: найти производную, определить критические точки, входящие в заданный отрезок, и сравнить значения функции в этих точках и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции. Область определения функции: $x > 0$.
$f'(x) = (x - 2\ln x)' = 1 - 2 \cdot \frac{1}{x} = 1 - \frac{2}{x}$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю.
$f'(x) = 0 \implies 1 - \frac{2}{x} = 0$
$1 = \frac{2}{x}$
$x = 2$.

3. Проверим, принадлежит ли критическая точка $x=2$ отрезку $[\frac{3}{2}; e]$.
Поскольку $\frac{3}{2} = 1.5$ и $e \approx 2.718$, точка $x=2$ находится внутри данного отрезка.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=2$ и на концах отрезка $x=\frac{3}{2}$ и $x=e$.
- В точке $x = 2$: $f(2) = 2 - 2\ln 2$.
- На левом конце отрезка $x = \frac{3}{2}$: $f(\frac{3}{2}) = \frac{3}{2} - 2\ln(\frac{3}{2})$.
- На правом конце отрезка $x = e$: $f(e) = e - 2\ln e = e - 2 \cdot 1 = e - 2$.

5. Сравним полученные значения.
Знак производной $f'(x) = \frac{x-2}{x}$ зависит от знака числителя $x-2$.
- На интервале $(\frac{3}{2}, 2)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.
- На интервале $(2, e)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.
Это означает, что в точке $x=2$ функция достигает своего минимума на отрезке. Таким образом, наименьшее значение функции равно $f(2) = 2 - 2\ln 2$.
Наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Сравним $f(\frac{3}{2})$ и $f(e)$.
$f(\frac{3}{2}) \approx 1.5 - 2 \cdot 0.405 = 1.5 - 0.81 = 0.69$.
$f(e) \approx 2.718 - 2 = 0.718$.
Так как $0.718 > 0.69$, наибольшее значение функции достигается в точке $x=e$ и равно $e-2$.

Ответ: наибольшее значение $e - 2$, наименьшее значение $2 - 2\ln 2$.

2)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x + e^{-x}$ на отрезке $[-1; 2]$ применим тот же алгоритм.

1. Найдем производную функции.
$f'(x) = (x + e^{-x})' = 1 + e^{-x} \cdot (-1) = 1 - e^{-x}$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x)=0$.
$1 - e^{-x} = 0 \implies e^{-x} = 1$
Так как $e^0 = 1$, то $-x=0$, откуда $x=0$.

3. Проверим, принадлежит ли критическая точка $x=0$ отрезку $[-1; 2]$.
Да, точка $x=0$ принадлежит этому отрезку.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=0$ и на концах отрезка $x=-1$ и $x=2$.
- В точке $x = 0$: $f(0) = 0 + e^{-0} = 0 + 1 = 1$.
- На левом конце отрезка $x = -1$: $f(-1) = -1 + e^{-(-1)} = -1 + e = e - 1$.
- На правом конце отрезка $x = 2$: $f(2) = 2 + e^{-2}$.

5. Сравним полученные значения.
- $f(0) = 1$
- $f(-1) = e - 1 \approx 2.718 - 1 = 1.718$
- $f(2) = 2 + e^{-2} = 2 + \frac{1}{e^2} \approx 2 + \frac{1}{7.389} \approx 2 + 0.135 = 2.135$
Сравнивая эти три числа ($1$, $1.718$, $2.135$), видим, что наименьшее из них - это $1$, а наибольшее - $2+e^{-2}$.
(Также можно было исследовать знак производной: при $x<0$, $f'(x)<0$ (убывает), при $x>0$, $f'(x)>0$ (возрастает), значит $x=0$ - точка минимума).

Ответ: наибольшее значение $2 + e^{-2}$, наименьшее значение $1$.

291. 1) $f(x) = \sin x + \cos x$ на отрезке $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$;

2) $f(x) = \sin x + \cos x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \sin x + \cos x$ на отрезке $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$, необходимо найти значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих данному отрезку.

Сначала найдем производную функции:
$f'(x) = (\sin x + \cos x)' = \cos x - \sin x$.

Далее найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$\cos x - \sin x = 0$
$\cos x = \sin x$
Решениями этого уравнения являются точки вида $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем из этих точек те, что лежат внутри отрезка $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$.
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$. Эта точка принадлежит отрезку, так как $\pi \le \frac{5\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2}$.
При других целых значениях $k$ точки не попадают в заданный интервал.
Таким образом, на заданном отрезке есть одна критическая точка: $x = \frac{5\pi}{4}$.

Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
- $f(\pi) = \sin(\pi) + \cos(\pi) = 0 + (-1) = -1$.
- $f(\frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) + \cos(\frac{3\pi}{2}) = -1 + 0 = -1$.
- $f(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\frac{5\pi}{4}) + \cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$.

Сравниваем полученные значения: $\{-1, -\sqrt{2}\}$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно $-1$.
Наименьшее значение функции на отрезке равно $-\sqrt{2}$ (так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, следовательно $-\sqrt{2} < -1$).

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке равно $-1$, наименьшее – $-\sqrt{2}$.

2) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \sin x + \cos x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ воспользуемся тем же алгоритмом.

Производная функции и общая формула для критических точек были найдены в предыдущем пункте:
$f'(x) = \cos x - \sin x$
Критические точки: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выберем критические точки, принадлежащие отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$.
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. Эта точка принадлежит отрезку, так как $0 \le \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2}$.
При других целых значениях $k$ точки не попадают в заданный интервал.
Таким образом, на отрезке есть одна критическая точка: $x = \frac{\pi}{4}$.

Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
- $f(0) = \sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$.
- $f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2}) = 1 + 0 = 1$.
- $f(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Сравниваем полученные значения: $\{1, \sqrt{2}\}$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно $\sqrt{2}$ (так как $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$).
Наименьшее значение функции на отрезке равно $1$.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке равно $\sqrt{2}$, наименьшее – $1$.

292. Найти наибольшее значение функции:

1) $3\sqrt{x}-x\sqrt{x}$ на промежутке $x>0$;

2) $3x-2\sqrt{x}$ на промежутке $x>0$;

3) $\ln x-x$ на промежутке $x>0$;

4) $2x-e^{2x}$ на интервале $(-1; 1)$.

1) $3\sqrt{x} - x\sqrt{x}$ на промежутке $x > 0$

Для нахождения наибольшего значения функции $y(x) = 3\sqrt{x} - x\sqrt{x}$ на промежутке $(0, +\infty)$, мы будем использовать производную.

1. Перепишем функцию в виде степеней: $y(x) = 3x^{1/2} - x^{3/2}$.

2. Найдем производную функции $y(x)$:
$y'(x) = (3x^{1/2} - x^{3/2})' = 3 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3}{2\sqrt{x}} - \frac{3\sqrt{x}}{2}$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$y'(x) = 0$
$\frac{3}{2\sqrt{x}} - \frac{3\sqrt{x}}{2} = 0$
$\frac{3}{2\sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x}}{2}$
$3 \cdot 2 = 3\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}$
$6 = 6x$
$x = 1$.

Критическая точка $x=1$ принадлежит заданному промежутку $(0, +\infty)$.

4. Определим знак производной на интервалах $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. $y'(x) = \frac{3 - 3x}{2\sqrt{x}}$.
При $x \in (0, 1)$, числитель $3-3x > 0$, знаменатель $2\sqrt{x} > 0$, следовательно $y'(x) > 0$. Функция возрастает.
При $x \in (1, +\infty)$, числитель $3-3x < 0$, знаменатель $2\sqrt{x} > 0$, следовательно $y'(x) < 0$. Функция убывает.

Поскольку функция возрастает до $x=1$ и убывает после, точка $x=1$ является точкой максимума. Так как это единственная критическая точка на промежутке, это глобальный максимум.

5. Вычислим значение функции в точке максимума:
$y(1) = 3\sqrt{1} - 1\cdot\sqrt{1} = 3 - 1 = 2$.

Ответ: 2

2) $3x - 2x\sqrt{x}$ на промежутке $x > 0$

Для нахождения наибольшего значения функции $y(x) = 3x - 2x\sqrt{x}$ на промежутке $(0, +\infty)$, найдем ее критические точки.

1. Перепишем функцию в виде степеней: $y(x) = 3x - 2x^{3/2}$.

2. Найдем производную функции $y(x)$:
$y'(x) = (3x - 2x^{3/2})' = 3 - 2 \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} = 3 - 3\sqrt{x}$.

3. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$y'(x) = 0$
$3 - 3\sqrt{x} = 0$
$3\sqrt{x} = 3$
$\sqrt{x} = 1$
$x = 1$.

Критическая точка $x=1$ принадлежит заданному промежутку $(0, +\infty)$.

4. Определим знак производной $y'(x) = 3(1 - \sqrt{x})$.
При $x \in (0, 1)$, имеем $\sqrt{x} < 1$, поэтому $y'(x) > 0$. Функция возрастает.
При $x \in (1, +\infty)$, имеем $\sqrt{x} > 1$, поэтому $y'(x) < 0$. Функция убывает.

Следовательно, в точке $x=1$ функция достигает своего максимума.

5. Вычислим значение функции в этой точке:
$y(1) = 3(1) - 2(1)\sqrt{1} = 3 - 2 = 1$.

Ответ: 1

3) $\ln x - x$ на промежутке $x > 0$

Найдем наибольшее значение функции $y(x) = \ln x - x$ на ее области определения $(0, +\infty)$.

1. Найдем производную функции $y(x)$:
$y'(x) = (\ln x - x)' = \frac{1}{x} - 1$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $y'(x) = 0$:
$\frac{1}{x} - 1 = 0$
$\frac{1}{x} = 1$
$x = 1$.

Критическая точка $x=1$ находится в заданном промежутке.

3. Определим знак производной. $y'(x) = \frac{1-x}{x}$. Так как $x>0$, знак производной определяется знаком числителя $1-x$.
При $x \in (0, 1)$, $1-x > 0$, значит $y'(x) > 0$. Функция возрастает.
При $x \in (1, +\infty)$, $1-x < 0$, значит $y'(x) < 0$. Функция убывает.

Таким образом, $x=1$ является точкой максимума.

4. Найдем значение функции в точке максимума:
$y(1) = \ln(1) - 1 = 0 - 1 = -1$.

Ответ: -1

4) $2x - e^{2x}$ на интервале $(-1; 1)$

Рассмотрим функцию $y(x) = 2x - e^{2x}$ на интервале $(-1, 1)$.

1. Найдем производную функции:
$y'(x) = (2x - e^{2x})' = 2 - e^{2x} \cdot 2 = 2(1 - e^{2x})$.

2. Найдем критические точки из уравнения $y'(x) = 0$:
$2(1 - e^{2x}) = 0$
$1 - e^{2x} = 0$
$e^{2x} = 1$
$2x = \ln(1)$
$2x = 0$
$x = 0$.

Критическая точка $x=0$ принадлежит интервалу $(-1, 1)$.

3. Исследуем знак производной на интервалах $(-1, 0)$ и $(0, 1)$.
При $x \in (-1, 0)$, $2x < 0$, тогда $e^{2x} < 1$, и $y'(x) = 2(1 - e^{2x}) > 0$. Функция возрастает.
При $x \in (0, 1)$, $2x > 0$, тогда $e^{2x} > 1$, и $y'(x) = 2(1 - e^{2x}) < 0$. Функция убывает.

Следовательно, в точке $x=0$ функция достигает своего наибольшего значения на данном интервале.

4. Вычислим это значение:
$y(0) = 2(0) - e^{2 \cdot 0} = 0 - e^0 = 0 - 1 = -1$.

Ответ: -1

293. Найти наименьшее значение функции:

1) $e^{3x} - 3x$ на интервале $(-1; 1);

2) $\frac{1}{x} + \ln x$ на интервале $(0; 2).

1) Чтобы найти наименьшее значение функции $y = e^{3x} - 3x$ на интервале $(-1; 1)$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.
$y' = (e^{3x} - 3x)' = (e^{3x})' \cdot (3x)' - (3x)' = e^{3x} \cdot 3 - 3 = 3e^{3x} - 3$.

2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю.
$3e^{3x} - 3 = 0$
$3e^{3x} = 3$
$e^{3x} = 1$
Поскольку $e^0 = 1$, то $3x = 0$, откуда $x = 0$.

3. Проверить, принадлежит ли критическая точка заданному интервалу.
Точка $x = 0$ принадлежит интервалу $(-1; 1)$.

4. Определить знак производной на интервалах, на которые критическая точка разбивает область определения.
Для $x \in (-1; 0)$, например, при $x = -0.5$, $y' = 3e^{3(-0.5)} - 3 = 3e^{-1.5} - 3 < 0$, так как $e^{-1.5} < 1$. Следовательно, функция убывает.
Для $x \in (0; 1)$, например, при $x = 0.5$, $y' = 3e^{3(0.5)} - 3 = 3e^{1.5} - 3 > 0$, так как $e^{1.5} > 1$. Следовательно, функция возрастает.

Поскольку функция убывает до точки $x=0$ и возрастает после нее, в точке $x=0$ находится точка минимума. Так как это единственная критическая точка на интервале, это и есть точка наименьшего значения.

5. Вычислить значение функции в точке минимума.
$y(0) = e^{3 \cdot 0} - 3 \cdot 0 = e^0 - 0 = 1$.

Ответ: 1.

2) Чтобы найти наименьшее значение функции $y = \frac{1}{x} + \ln x$ на интервале $(0; 2)$, выполним следующие шаги:

1. Найти производную функции. Область определения функции $x > 0$.
$y' = (\frac{1}{x} + \ln x)' = (x^{-1})' + (\ln x)' = -1 \cdot x^{-2} + \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$.

2. Найти критические точки.
$-\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{-1+x}{x^2} = 0$
Поскольку $x \ne 0$, то $-1 + x = 0$, откуда $x=1$.

3. Проверить, принадлежит ли критическая точка заданному интервалу.
Точка $x=1$ принадлежит интервалу $(0; 2)$.

4. Определить знак производной.
Знак производной $y' = \frac{x-1}{x^2}$ зависит только от знака числителя $(x-1)$, так как знаменатель $x^2$ всегда положителен для $x \in (0; 2)$.
Если $x \in (0; 1)$, то $x-1 < 0$, значит $y' < 0$ (функция убывает).
Если $x \in (1; 2)$, то $x-1 > 0$, значит $y' > 0$ (функция возрастает).

Следовательно, в точке $x=1$ функция достигает своего минимума. Это единственная точка экстремума на интервале, поэтому здесь функция принимает наименьшее значение.

5. Вычислить значение функции в этой точке.
$y(1) = \frac{1}{1} + \ln 1 = 1 + 0 = 1$.

Ответ: 1.

294. Найти наибольшее значение функции:

1) $\sqrt[3]{x^2(1-x)}$ на интервале $(0; 1);$

2) $\sqrt{x(2-x)}$ на интервале $(0; 2).$

1)

Для нахождения наибольшего значения функции $f(x) = \sqrt[3]{x^2(1-x)}$ на интервале $(0; 1)$ будем использовать производную.

Для удобства исследования, заметим, что функция $y(u) = \sqrt[3]{u}$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что наибольшее значение функции $f(x)$ достигается в той же точке, что и наибольшее значение подкоренного выражения $g(x) = x^2(1-x) = x^2 - x^3$.

Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (x^2 - x^3)' = 2x - 3x^2$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$2x - 3x^2 = 0$

$x(2 - 3x) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2/3$.

Интервалу $(0; 1)$ принадлежит только одна критическая точка: $x = 2/3$.

Определим знак производной $g'(x)$ слева и справа от точки $x=2/3$ на интервале $(0; 1)$.

• При $0 < x < 2/3$ (например, $x=0.5$), $g'(0.5) = 2(0.5) - 3(0.5)^2 = 1 - 3(0.25) = 1 - 0.75 = 0.25 > 0$. Функция возрастает.
• При $2/3 < x < 1$ (например, $x=0.8$), $g'(0.8) = 2(0.8) - 3(0.8)^2 = 1.6 - 3(0.64) = 1.6 - 1.92 = -0.32 < 0$. Функция убывает.

Поскольку производная меняет знак с плюса на минус при переходе через точку $x=2/3$, эта точка является точкой максимума. Так как это единственная критическая точка на интервале $(0; 1)$, то в ней функция достигает своего наибольшего значения на этом интервале.

Вычислим это значение, подставив $x = 2/3$ в исходную функцию $f(x)$:

$f(2/3) = \sqrt[3]{(2/3)^2(1 - 2/3)} = \sqrt[3]{(4/9)(1/3)} = \sqrt[3]{4/27} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt[3]{4}}{3}$.

2)

Для нахождения наибольшего значения функции $f(x) = \sqrt{x(2-x)}$ на интервале $(0; 2)$ также воспользуемся производной.

Аналогично первому пункту, функция $y(u) = \sqrt{u}$ является монотонно возрастающей для $u \ge 0$. Поэтому наибольшее значение $f(x)$ будет в той же точке, что и наибольшее значение подкоренного выражения $g(x) = x(2-x) = 2x - x^2$ на интервале $(0; 2)$.

Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (2x - x^2)' = 2 - 2x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$2 - 2x = 0$

$2(1 - x) = 0$

Отсюда получаем критическую точку $x = 1$.

Эта точка принадлежит заданному интервалу $(0; 2)$.

Определим знак производной $g'(x)$ слева и справа от точки $x=1$:

• При $0 < x < 1$, $g'(x) = 2(1-x) > 0$. Функция возрастает.
• При $1 < x < 2$, $g'(x) = 2(1-x) < 0$. Функция убывает.

Таким образом, $x=1$ является точкой максимума. Поскольку это единственная критическая точка на интервале, в ней функция достигает своего наибольшего значения.

Вычислим это значение, подставив $x = 1$ в исходную функцию $f(x)$:

$f(1) = \sqrt{1(2-1)} = \sqrt{1 \cdot 1} = \sqrt{1} = 1$.

Замечание: График функции $y = \sqrt{2x-x^2}$ представляет собой верхнюю половину окружности $(x-1)^2 + y^2 = 1$ с центром в точке $(1,0)$ и радиусом $1$. Очевидно, что самая высокая точка этой полуокружности имеет координаты $(1,1)$, поэтому максимальное значение функции равно $1$.

Ответ: $1$.

295. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $f(x)=\frac{x^4+1}{x^2+1}$ на отрезке [-1; 1];

2) $f(x)=|x^2+2x-3|+\frac{3}{2}\ln x$ на отрезке $[\frac{1}{2}; 2].$

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \frac{x^4+1}{x^2+1}$ на отрезке $[-1; 1]$ воспользуемся стандартным алгоритмом.

Сначала найдем производную функции. Для удобства преобразуем функцию:

$f(x) = \frac{x^4-1+2}{x^2+1} = \frac{(x^2-1)(x^2+1)+2}{x^2+1} = x^2-1 + \frac{2}{x^2+1}$.

Теперь находим производную:

$f'(x) = (x^2-1 + \frac{2}{x^2+1})' = 2x - \frac{2 \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = 2x - \frac{4x}{(x^2+1)^2} = 2x\left(1 - \frac{2}{(x^2+1)^2}\right) = \frac{2x((x^2+1)^2 - 2)}{(x^2+1)^2}$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$f'(x) = 0 \implies 2x((x^2+1)^2 - 2) = 0$.

Отсюда получаем два случая:

1. $2x = 0 \implies x_1 = 0$.

2. $(x^2+1)^2 - 2 = 0 \implies (x^2+1)^2 = 2 \implies x^2+1 = \sqrt{2}$ (так как $x^2+1>0$).

$x^2 = \sqrt{2}-1$. Отсюда $x_{2,3} = \pm\sqrt{\sqrt{2}-1}$.

Проверим, принадлежат ли критические точки отрезку $[-1; 1]$.

$x_1 = 0 \in [-1; 1]$.

Так как $1 < \sqrt{2} < 2$, то $0 < \sqrt{2}-1 < 1$, и следовательно $0 < \sqrt{\sqrt{2}-1} < 1$. Значит, точки $x_2 = \sqrt{\sqrt{2}-1}$ и $x_3 = -\sqrt{\sqrt{2}-1}$ также принадлежат отрезку $[-1; 1]$.

Теперь вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка: $x=-1, x=1, x=0, x=\pm\sqrt{\sqrt{2}-1}$.

Заметим, что функция $f(x)$ является четной, так как $f(-x) = \frac{(-x)^4+1}{(-x)^2+1} = \frac{x^4+1}{x^2+1} = f(x)$. Поэтому $f(-1)=f(1)$ и $f(-\sqrt{\sqrt{2}-1}) = f(\sqrt{\sqrt{2}-1})$.

• $f(1) = \frac{1^4+1}{1^2+1} = \frac{2}{2} = 1$.
• $f(0) = \frac{0^4+1}{0^2+1} = \frac{1}{1} = 1$.
• Для $x = \pm\sqrt{\sqrt{2}-1}$, имеем $x^2 = \sqrt{2}-1$. Подставим в преобразованное выражение для $f(x)$:
  $f(\pm\sqrt{\sqrt{2}-1}) = (\sqrt{2}-1) - 1 + \frac{2}{(\sqrt{2}-1)+1} = \sqrt{2}-2 + \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}-2+\sqrt{2} = 2\sqrt{2}-2$.

Сравним полученные значения: $1$ и $2\sqrt{2}-2$.

Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $2\sqrt{2}-2 \approx 2 \cdot 1.414 - 2 = 2.828 - 2 = 0.828$.

Очевидно, что $2\sqrt{2}-2 < 1$.

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке $[-1; 1]$ равно 1, а наименьшее равно $2\sqrt{2}-2$.

Ответ: наибольшее значение $1$, наименьшее значение $2\sqrt{2}-2$.

2) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = |x^2+2x-3| + \frac{3}{2}\ln x$ на отрезке $[\frac{1}{2}; 2]$.

Сначала раскроем модуль. Для этого найдем корни выражения под модулем: $x^2+2x-3 = 0$.

Корни уравнения: $x_1=1$ и $x_2=-3$. Выражение $x^2+2x-3 = (x-1)(x+3)$ отрицательно при $x \in (-3; 1)$ и положительно при $x \in (-\infty; -3) \cup (1; \infty)$.

Наш отрезок $[\frac{1}{2}; 2]$ содержит точку $x=1$. Поэтому мы должны рассмотреть два подинтервала:

• На отрезке $[\frac{1}{2}; 1]$: $x^2+2x-3 \le 0$, поэтому $|x^2+2x-3| = -(x^2+2x-3) = -x^2-2x+3$.
  $f(x) = -x^2-2x+3 + \frac{3}{2}\ln x$.
• На отрезке $[1; 2]$: $x^2+2x-3 \ge 0$, поэтому $|x^2+2x-3| = x^2+2x-3$.
  $f(x) = x^2+2x-3 + \frac{3}{2}\ln x$.

Найдем производную функции на каждом из подинтервалов.

Для $x \in (\frac{1}{2}; 1)$:

$f'(x) = (-x^2-2x+3 + \frac{3}{2}\ln x)' = -2x-2+\frac{3}{2x} = \frac{-4x^2-4x+3}{2x}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $-4x^2-4x+3=0$, или $4x^2+4x-3=0$.

Корни этого уравнения: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16-4(4)(-3)}}{8} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{8} = \frac{-4 \pm 8}{8}$.

$x_1 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$.

Интервалу $(\frac{1}{2}; 1)$ ни один из корней не принадлежит. Проверим знак производной на этом интервале, например, в точке $x=0.75$. $f'(0.75) = -2(0.75)-2+\frac{3}{2(0.75)} = -1.5-2+2 = -1.5 < 0$. Значит, функция убывает на всем отрезке $[\frac{1}{2}; 1]$.

Для $x \in (1; 2)$:

$f'(x) = (x^2+2x-3 + \frac{3}{2}\ln x)' = 2x+2+\frac{3}{2x}$.

На интервале $(1; 2)$ все слагаемые $2x$, $2$ и $\frac{3}{2x}$ положительны, следовательно $f'(x) > 0$. Значит, функция возрастает на всем отрезке $[1; 2]$.

Точка $x=1$ является точкой излома (производная в ней не существует), а также точкой локального минимума, так как до нее функция убывала, а после нее — возрастает.

Наибольшее и наименьшее значения функции могут достигаться в точках $x=\frac{1}{2}$, $x=1$ и $x=2$. Вычислим значения функции в этих точках.

• $f(\frac{1}{2}) = |(\frac{1}{2})^2+2(\frac{1}{2})-3| + \frac{3}{2}\ln(\frac{1}{2}) = |\frac{1}{4}+1-3| + \frac{3}{2}(-\ln 2) = |-\frac{7}{4}| - \frac{3}{2}\ln 2 = \frac{7}{4} - \frac{3}{2}\ln 2$.
• $f(1) = |1^2+2(1)-3| + \frac{3}{2}\ln(1) = |0| + 0 = 0$.
• $f(2) = |2^2+2(2)-3| + \frac{3}{2}\ln(2) = |4+4-3| + \frac{3}{2}\ln 2 = |5| + \frac{3}{2}\ln 2 = 5 + \frac{3}{2}\ln 2$.

Сравним полученные значения: $0$, $\frac{7}{4} - \frac{3}{2}\ln 2$ и $5 + \frac{3}{2}\ln 2$.

Так как $\ln 2 > 0$, очевидно, что $0$ является наименьшим значением. Для определения наибольшего значения сравним $f(\frac{1}{2})$ и $f(2)$.
$f(2) - f(\frac{1}{2}) = (5 + \frac{3}{2}\ln 2) - (\frac{7}{4} - \frac{3}{2}\ln 2) = 5 - \frac{7}{4} + 3\ln 2 = \frac{13}{4} + 3\ln 2 > 0$.
Следовательно, $f(2)$ является наибольшим значением.

Ответ: наибольшее значение $5 + \frac{3}{2}\ln 2$, наименьшее значение $0$.

296. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $f(x) = \begin{cases} 1-x \text{ при } x < 1, \\ \sqrt{x-1} \text{ при } x \ge 1 \end{cases}$ на отрезке $[-1; 2];$

2) $f(x) = \begin{cases} -2x^2 - 12x - 17 \text{ при } x < -2, \\ (x+1)^3 \text{ при } x \ge -2 \end{cases}$ на отрезке $[-5; -1].$

1) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \begin{cases} 1 - x & \text{при } x < 1, \\ \sqrt{x - 1} & \text{при } x \ge 1 \end{cases}$ на отрезке $[-1; 2]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции необходимо вычислить её значения на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из полученных чисел самое большое и самое маленькое.

Сначала проверим функцию на непрерывность в точке $x=1$, где меняется её аналитическое выражение.
Предел слева: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (1-x) = 1-1=0$.
Значение функции в самой точке: $f(1) = \sqrt{1-1} = 0$.
Так как предел слева равен значению функции в точке, функция непрерывна в точке $x=1$ и, следовательно, на всем отрезке $[-1; 2]$.

Теперь найдём производную функции и её критические точки.
При $x < 1$: $f'(x) = (1-x)' = -1$. Так как производная никогда не равна нулю, стационарных точек на интервале $(-\infty, 1)$ нет.
При $x > 1$: $f'(x) = (\sqrt{x-1})' = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$. Производная также никогда не равна нулю, стационарных точек на интервале $(1, \infty)$ нет.
В точке $x=1$ производная не существует, так как производные слева и справа не равны ($f'_{-}(1)=-1$, а $f'_{+}(1)=+\infty$). Следовательно, $x=1$ является критической точкой.

Вычислим значения функции в критической точке $x=1$ и на концах отрезка $x=-1$ и $x=2$.
$f(-1) = 1 - (-1) = 2$.
$f(1) = 0$.
$f(2) = \sqrt{2-1} = 1$.

Сравнивая полученные значения $\{2, 0, 1\}$, находим, что наибольшее значение функции равно 2 (достигается при $x=-1$), а наименьшее равно 0 (достигается при $x=1$).

Ответ: наибольшее значение 2, наименьшее значение 0.

2) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \begin{cases} -2x^2 - 12x - 17 & \text{при } x < -2, \\ (x+1)^3 & \text{при } x \ge -2 \end{cases}$ на отрезке $[-5; -1]$.

Проверим функцию на непрерывность в точке $x=-2$.
Предел слева: $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^-} (-2x^2-12x-17) = -2(-2)^2-12(-2)-17 = -8+24-17 = -1$.
Значение функции в самой точке: $f(-2) = (-2+1)^3 = (-1)^3 = -1$.
Функция непрерывна в точке $x=-2$ и на всем отрезке $[-5; -1]$.

Найдём производную функции и её критические точки.
При $x < -2$: $f'(x) = (-2x^2 - 12x - 17)' = -4x-12$. Найдём стационарные точки, решив уравнение $f'(x)=0$:
$-4x-12=0 \implies x=-3$.
Эта точка принадлежит интервалу $[-5, -2)$, значит, $x=-3$ является критической точкой.
При $x > -2$: $f'(x) = ((x+1)^3)' = 3(x+1)^2$. Найдём стационарные точки:
$3(x+1)^2=0 \implies x=-1$.
Эта точка является правым концом заданного отрезка.
В точке $x=-2$ производная не существует, так как производные слева и справа не равны: $f'_{-}(-2)=-4(-2)-12 = -4$, а $f'_{+}(-2)=3(-2+1)^2=3$. Значит, $x=-2$ также является критической точкой (точкой излома).

Вычислим значения функции на концах отрезка $x=-5$, $x=-1$ и в критических точках $x=-3$, $x=-2$.
$f(-5) = -2(-5)^2 - 12(-5) - 17 = -50 + 60 - 17 = -7$.
$f(-3) = -2(-3)^2 - 12(-3) - 17 = -18 + 36 - 17 = 1$.
$f(-2) = -1$.
$f(-1) = (-1+1)^3 = 0$.

Сравнивая полученные значения $\{-7, 1, -1, 0\}$, находим, что наибольшее значение функции равно 1 (достигается при $x=-3$), а наименьшее равно -7 (достигается при $x=-5$).

Ответ: наибольшее значение 1, наименьшее значение -7.