Номер 294, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 294, страница 120.

Условие.

294. Найти наибольшее значение функции:

1) $\sqrt[3]{x^2(1-x)}$ на интервале $(0; 1);$

2) $\sqrt{x(2-x)}$ на интервале $(0; 2).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для нахождения наибольшего значения функции $f(x) = \sqrt[3]{x^2(1-x)}$ на интервале $(0; 1)$ будем использовать производную.

Для удобства исследования, заметим, что функция $y(u) = \sqrt[3]{u}$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что наибольшее значение функции $f(x)$ достигается в той же точке, что и наибольшее значение подкоренного выражения $g(x) = x^2(1-x) = x^2 - x^3$.

Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (x^2 - x^3)' = 2x - 3x^2$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$2x - 3x^2 = 0$

$x(2 - 3x) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2/3$.

Интервалу $(0; 1)$ принадлежит только одна критическая точка: $x = 2/3$.

Определим знак производной $g'(x)$ слева и справа от точки $x=2/3$ на интервале $(0; 1)$.

• При $0 < x < 2/3$ (например, $x=0.5$), $g'(0.5) = 2(0.5) - 3(0.5)^2 = 1 - 3(0.25) = 1 - 0.75 = 0.25 > 0$. Функция возрастает.
• При $2/3 < x < 1$ (например, $x=0.8$), $g'(0.8) = 2(0.8) - 3(0.8)^2 = 1.6 - 3(0.64) = 1.6 - 1.92 = -0.32 < 0$. Функция убывает.

Поскольку производная меняет знак с плюса на минус при переходе через точку $x=2/3$, эта точка является точкой максимума. Так как это единственная критическая точка на интервале $(0; 1)$, то в ней функция достигает своего наибольшего значения на этом интервале.

Вычислим это значение, подставив $x = 2/3$ в исходную функцию $f(x)$:

$f(2/3) = \sqrt[3]{(2/3)^2(1 - 2/3)} = \sqrt[3]{(4/9)(1/3)} = \sqrt[3]{4/27} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt[3]{4}}{3}$.

2)

Для нахождения наибольшего значения функции $f(x) = \sqrt{x(2-x)}$ на интервале $(0; 2)$ также воспользуемся производной.

Аналогично первому пункту, функция $y(u) = \sqrt{u}$ является монотонно возрастающей для $u \ge 0$. Поэтому наибольшее значение $f(x)$ будет в той же точке, что и наибольшее значение подкоренного выражения $g(x) = x(2-x) = 2x - x^2$ на интервале $(0; 2)$.

Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (2x - x^2)' = 2 - 2x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$2 - 2x = 0$

$2(1 - x) = 0$

Отсюда получаем критическую точку $x = 1$.

Эта точка принадлежит заданному интервалу $(0; 2)$.

Определим знак производной $g'(x)$ слева и справа от точки $x=1$:

• При $0 < x < 1$, $g'(x) = 2(1-x) > 0$. Функция возрастает.
• При $1 < x < 2$, $g'(x) = 2(1-x) < 0$. Функция убывает.

Таким образом, $x=1$ является точкой максимума. Поскольку это единственная критическая точка на интервале, в ней функция достигает своего наибольшего значения.

Вычислим это значение, подставив $x = 1$ в исходную функцию $f(x)$:

$f(1) = \sqrt{1(2-1)} = \sqrt{1 \cdot 1} = \sqrt{1} = 1$.

Замечание: График функции $y = \sqrt{2x-x^2}$ представляет собой верхнюю половину окружности $(x-1)^2 + y^2 = 1$ с центром в точке $(1,0)$ и радиусом $1$. Очевидно, что самая высокая точка этой полуокружности имеет координаты $(1,1)$, поэтому максимальное значение функции равно $1$.

Ответ: $1$.