Номер 294, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 294, страница 120.
№294 (с. 120)
Условие. №294 (с. 120)
скриншот условия

294. Найти наибольшее значение функции:
1) $\sqrt[3]{x^2(1-x)}$ на интервале $(0; 1);$
2) $\sqrt{x(2-x)}$ на интервале $(0; 2).$
Решение 1. №294 (с. 120)


Решение 2. №294 (с. 120)

Решение 3. №294 (с. 120)
1)
Для нахождения наибольшего значения функции $f(x) = \sqrt[3]{x^2(1-x)}$ на интервале $(0; 1)$ будем использовать производную.
Для удобства исследования, заметим, что функция $y(u) = \sqrt[3]{u}$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что наибольшее значение функции $f(x)$ достигается в той же точке, что и наибольшее значение подкоренного выражения $g(x) = x^2(1-x) = x^2 - x^3$.
Найдем производную функции $g(x)$:
$g'(x) = (x^2 - x^3)' = 2x - 3x^2$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$2x - 3x^2 = 0$
$x(2 - 3x) = 0$
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2/3$.
Интервалу $(0; 1)$ принадлежит только одна критическая точка: $x = 2/3$.
Определим знак производной $g'(x)$ слева и справа от точки $x=2/3$ на интервале $(0; 1)$.
- При $0 < x < 2/3$ (например, $x=0.5$), $g'(0.5) = 2(0.5) - 3(0.5)^2 = 1 - 3(0.25) = 1 - 0.75 = 0.25 > 0$. Функция возрастает.
- При $2/3 < x < 1$ (например, $x=0.8$), $g'(0.8) = 2(0.8) - 3(0.8)^2 = 1.6 - 3(0.64) = 1.6 - 1.92 = -0.32 < 0$. Функция убывает.
Поскольку производная меняет знак с плюса на минус при переходе через точку $x=2/3$, эта точка является точкой максимума. Так как это единственная критическая точка на интервале $(0; 1)$, то в ней функция достигает своего наибольшего значения на этом интервале.
Вычислим это значение, подставив $x = 2/3$ в исходную функцию $f(x)$:
$f(2/3) = \sqrt[3]{(2/3)^2(1 - 2/3)} = \sqrt[3]{(4/9)(1/3)} = \sqrt[3]{4/27} = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt[3]{4}}{3}$.
2)
Для нахождения наибольшего значения функции $f(x) = \sqrt{x(2-x)}$ на интервале $(0; 2)$ также воспользуемся производной.
Аналогично первому пункту, функция $y(u) = \sqrt{u}$ является монотонно возрастающей для $u \ge 0$. Поэтому наибольшее значение $f(x)$ будет в той же точке, что и наибольшее значение подкоренного выражения $g(x) = x(2-x) = 2x - x^2$ на интервале $(0; 2)$.
Найдем производную функции $g(x)$:
$g'(x) = (2x - x^2)' = 2 - 2x$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$2 - 2x = 0$
$2(1 - x) = 0$
Отсюда получаем критическую точку $x = 1$.
Эта точка принадлежит заданному интервалу $(0; 2)$.
Определим знак производной $g'(x)$ слева и справа от точки $x=1$:
- При $0 < x < 1$, $g'(x) = 2(1-x) > 0$. Функция возрастает.
- При $1 < x < 2$, $g'(x) = 2(1-x) < 0$. Функция убывает.
Таким образом, $x=1$ является точкой максимума. Поскольку это единственная критическая точка на интервале, в ней функция достигает своего наибольшего значения.
Вычислим это значение, подставив $x = 1$ в исходную функцию $f(x)$:
$f(1) = \sqrt{1(2-1)} = \sqrt{1 \cdot 1} = \sqrt{1} = 1$.
Замечание: График функции $y = \sqrt{2x-x^2}$ представляет собой верхнюю половину окружности $(x-1)^2 + y^2 = 1$ с центром в точке $(1,0)$ и радиусом $1$. Очевидно, что самая высокая точка этой полуокружности имеет координаты $(1,1)$, поэтому максимальное значение функции равно $1$.
Ответ: $1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 294 расположенного на странице 120 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №294 (с. 120), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.