Номер 291, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 291, страница 120.

Условие.

291. 1) $f(x) = \sin x + \cos x$ на отрезке $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$;

2) $f(x) = \sin x + \cos x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \sin x + \cos x$ на отрезке $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$, необходимо найти значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих данному отрезку.

Сначала найдем производную функции:
$f'(x) = (\sin x + \cos x)' = \cos x - \sin x$.

Далее найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$\cos x - \sin x = 0$
$\cos x = \sin x$
Решениями этого уравнения являются точки вида $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем из этих точек те, что лежат внутри отрезка $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$.
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$. Эта точка принадлежит отрезку, так как $\pi \le \frac{5\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2}$.
При других целых значениях $k$ точки не попадают в заданный интервал.
Таким образом, на заданном отрезке есть одна критическая точка: $x = \frac{5\pi}{4}$.

Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
- $f(\pi) = \sin(\pi) + \cos(\pi) = 0 + (-1) = -1$.
- $f(\frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) + \cos(\frac{3\pi}{2}) = -1 + 0 = -1$.
- $f(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\frac{5\pi}{4}) + \cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$.

Сравниваем полученные значения: $\{-1, -\sqrt{2}\}$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно $-1$.
Наименьшее значение функции на отрезке равно $-\sqrt{2}$ (так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, следовательно $-\sqrt{2} < -1$).

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке равно $-1$, наименьшее – $-\sqrt{2}$.

2) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \sin x + \cos x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ воспользуемся тем же алгоритмом.

Производная функции и общая формула для критических точек были найдены в предыдущем пункте:
$f'(x) = \cos x - \sin x$
Критические точки: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выберем критические точки, принадлежащие отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$.
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. Эта точка принадлежит отрезку, так как $0 \le \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2}$.
При других целых значениях $k$ точки не попадают в заданный интервал.
Таким образом, на отрезке есть одна критическая точка: $x = \frac{\pi}{4}$.

Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
- $f(0) = \sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$.
- $f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2}) = 1 + 0 = 1$.
- $f(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Сравниваем полученные значения: $\{1, \sqrt{2}\}$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно $\sqrt{2}$ (так как $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$).
Наименьшее значение функции на отрезке равно $1$.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке равно $\sqrt{2}$, наименьшее – $1$.