Номер 289, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 289, страница 120.

Условие.

289. Из всех прямоугольников, площадь которых равна $9 \text{ см}^2$, найти прямоугольник с наименьшим периметром.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи необходимо найти размеры прямоугольника, которые минимизируют его периметр при фиксированной площади. Это классическая задача на оптимизацию.

Пусть стороны искомого прямоугольника равны $a$ и $b$.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию задачи, площадь равна 9 см²: $a \cdot b = 9$

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле: $P = 2(a + b)$

Наша цель — найти наименьшее значение периметра $P$. Для этого выразим одну переменную через другую, используя уравнение для площади. Выразим сторону $b$ через сторону $a$: $b = \frac{9}{a}$

Теперь подставим это выражение в формулу периметра. В результате периметр будет функцией только одной переменной $a$: $P(a) = 2(a + \frac{9}{a})$

Чтобы найти минимальное значение функции $P(a)$, необходимо найти ее производную по переменной $a$ и приравнять ее к нулю. Это позволит нам найти критические точки функции, в которых может достигаться минимум.

Найдем производную функции $P(a)$: $P'(a) = (2a + \frac{18}{a})' = (2a)' + (18a^{-1})' = 2 - 18a^{-2} = 2 - \frac{18}{a^2}$

Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение: $2 - \frac{18}{a^2} = 0$ $2 = \frac{18}{a^2}$ $2a^2 = 18$ $a^2 = 9$

Так как $a$ — это длина стороны, она должна быть положительным числом. Следовательно, из $a^2 = 9$ мы берем только положительный корень: $a = 3$ см.

Мы нашли критическую точку. Чтобы убедиться, что это точка минимума, а не максимума, можно исследовать знак второй производной. $P''(a) = (2 - 18a^{-2})' = -18(-2)a^{-3} = \frac{36}{a^3}$ При $a = 3$, значение второй производной $P''(3) = \frac{36}{3^3} = \frac{36}{27} > 0$. Так как вторая производная положительна, точка $a=3$ действительно является точкой минимума функции периметра.

Теперь, зная значение одной стороны, найдем вторую сторону $b$: $b = \frac{9}{a} = \frac{9}{3} = 3$ см.

Получается, что стороны прямоугольника равны: $a = 3$ см и $b = 3$ см. Это означает, что искомый прямоугольник является квадратом.

Ответ: Прямоугольник с наименьшим периметром при площади 9 см² — это квадрат со стороной 3 см.