Номер 288, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 288, страница 120.
№288 (с. 120)
Условие. №288 (с. 120)
скриншот условия

288. Из всех прямоугольников с периметром $p$ найти прямоугольник наибольшей площади.
Решение 1. №288 (с. 120)

Решение 2. №288 (с. 120)

Решение 3. №288 (с. 120)
Пусть стороны искомого прямоугольника равны $a$ и $b$.
Периметр $P$ и площадь $S$ прямоугольника определяются по формулам:
$P = 2(a + b)$
$S = a \cdot b$
Согласно условию задачи, периметр прямоугольника является заданной величиной $p$. Таким образом, мы имеем ограничение:
$2(a + b) = p$
Наша задача — найти максимальное значение площади $S$ при данном ограничении. Для этого выразим одну из сторон, например $b$, через другую сторону $a$ и константу $p$:
$a + b = \frac{p}{2}$
$b = \frac{p}{2} - a$
Теперь подставим полученное выражение для $b$ в формулу площади. Это позволит нам представить площадь как функцию одной переменной $a$:
$S(a) = a \cdot \left(\frac{p}{2} - a\right) = \frac{p}{2}a - a^2$
Функция $S(a) = -a^2 + \frac{p}{2}a$ является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при старшем члене ($a^2$) отрицателен (-1). Наибольшее значение такой функции достигается в ее вершине.
Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением $y = Ax^2 + Bx + C$, находится по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$. В нашем случае переменная — это $a$, а коэффициенты равны $A = -1$ и $B = \frac{p}{2}$.
Найдем значение стороны $a$, при котором площадь будет максимальной:
$a = -\frac{\frac{p}{2}}{2 \cdot (-1)} = -\frac{\frac{p}{2}}{-2} = \frac{p}{4}$
Теперь, зная оптимальное значение $a$, найдем соответствующее значение стороны $b$:
$b = \frac{p}{2} - a = \frac{p}{2} - \frac{p}{4} = \frac{2p-p}{4} = \frac{p}{4}$
Мы получили, что $a = b = \frac{p}{4}$. Это означает, что стороны прямоугольника равны. Прямоугольник, у которого все стороны равны, является квадратом.
Таким образом, из всех прямоугольников с заданным периметром $p$ наибольшую площадь имеет квадрат.
Ответ: Прямоугольник наибольшей площади — это квадрат со стороной, равной $\frac{p}{4}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 288 расположенного на странице 120 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №288 (с. 120), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.