Номер 288, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 288, страница 120.

Условие.

288. Из всех прямоугольников с периметром $p$ найти прямоугольник наибольшей площади.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть стороны искомого прямоугольника равны $a$ и $b$.

Периметр $P$ и площадь $S$ прямоугольника определяются по формулам:

$P = 2(a + b)$

$S = a \cdot b$

Согласно условию задачи, периметр прямоугольника является заданной величиной $p$. Таким образом, мы имеем ограничение:

$2(a + b) = p$

Наша задача — найти максимальное значение площади $S$ при данном ограничении. Для этого выразим одну из сторон, например $b$, через другую сторону $a$ и константу $p$:

$a + b = \frac{p}{2}$

$b = \frac{p}{2} - a$

Теперь подставим полученное выражение для $b$ в формулу площади. Это позволит нам представить площадь как функцию одной переменной $a$:

$S(a) = a \cdot \left(\frac{p}{2} - a\right) = \frac{p}{2}a - a^2$

Функция $S(a) = -a^2 + \frac{p}{2}a$ является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при старшем члене ($a^2$) отрицателен (-1). Наибольшее значение такой функции достигается в ее вершине.

Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением $y = Ax^2 + Bx + C$, находится по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$. В нашем случае переменная — это $a$, а коэффициенты равны $A = -1$ и $B = \frac{p}{2}$.

Найдем значение стороны $a$, при котором площадь будет максимальной:

$a = -\frac{\frac{p}{2}}{2 \cdot (-1)} = -\frac{\frac{p}{2}}{-2} = \frac{p}{4}$

Теперь, зная оптимальное значение $a$, найдем соответствующее значение стороны $b$:

$b = \frac{p}{2} - a = \frac{p}{2} - \frac{p}{4} = \frac{2p-p}{4} = \frac{p}{4}$

Мы получили, что $a = b = \frac{p}{4}$. Это означает, что стороны прямоугольника равны. Прямоугольник, у которого все стороны равны, является квадратом.

Таким образом, из всех прямоугольников с заданным периметром $p$ наибольшую площадь имеет квадрат.

Ответ: Прямоугольник наибольшей площади — это квадрат со стороной, равной $\frac{p}{4}$.