Номер 296, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 3. Наибольшее и наименьшее значения функции - номер 296, страница 120.

Условие.

296. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $f(x) = \begin{cases} 1-x \text{ при } x < 1, \\ \sqrt{x-1} \text{ при } x \ge 1 \end{cases}$ на отрезке $[-1; 2];$

2) $f(x) = \begin{cases} -2x^2 - 12x - 17 \text{ при } x < -2, \\ (x+1)^3 \text{ при } x \ge -2 \end{cases}$ на отрезке $[-5; -1].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \begin{cases} 1 - x & \text{при } x < 1, \\ \sqrt{x - 1} & \text{при } x \ge 1 \end{cases}$ на отрезке $[-1; 2]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции необходимо вычислить её значения на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из полученных чисел самое большое и самое маленькое.

Сначала проверим функцию на непрерывность в точке $x=1$, где меняется её аналитическое выражение.
Предел слева: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (1-x) = 1-1=0$.
Значение функции в самой точке: $f(1) = \sqrt{1-1} = 0$.
Так как предел слева равен значению функции в точке, функция непрерывна в точке $x=1$ и, следовательно, на всем отрезке $[-1; 2]$.

Теперь найдём производную функции и её критические точки.
При $x < 1$: $f'(x) = (1-x)' = -1$. Так как производная никогда не равна нулю, стационарных точек на интервале $(-\infty, 1)$ нет.
При $x > 1$: $f'(x) = (\sqrt{x-1})' = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$. Производная также никогда не равна нулю, стационарных точек на интервале $(1, \infty)$ нет.
В точке $x=1$ производная не существует, так как производные слева и справа не равны ($f'_{-}(1)=-1$, а $f'_{+}(1)=+\infty$). Следовательно, $x=1$ является критической точкой.

Вычислим значения функции в критической точке $x=1$ и на концах отрезка $x=-1$ и $x=2$.
$f(-1) = 1 - (-1) = 2$.
$f(1) = 0$.
$f(2) = \sqrt{2-1} = 1$.

Сравнивая полученные значения $\{2, 0, 1\}$, находим, что наибольшее значение функции равно 2 (достигается при $x=-1$), а наименьшее равно 0 (достигается при $x=1$).

Ответ: наибольшее значение 2, наименьшее значение 0.

2) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \begin{cases} -2x^2 - 12x - 17 & \text{при } x < -2, \\ (x+1)^3 & \text{при } x \ge -2 \end{cases}$ на отрезке $[-5; -1]$.

Проверим функцию на непрерывность в точке $x=-2$.
Предел слева: $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^-} (-2x^2-12x-17) = -2(-2)^2-12(-2)-17 = -8+24-17 = -1$.
Значение функции в самой точке: $f(-2) = (-2+1)^3 = (-1)^3 = -1$.
Функция непрерывна в точке $x=-2$ и на всем отрезке $[-5; -1]$.

Найдём производную функции и её критические точки.
При $x < -2$: $f'(x) = (-2x^2 - 12x - 17)' = -4x-12$. Найдём стационарные точки, решив уравнение $f'(x)=0$:
$-4x-12=0 \implies x=-3$.
Эта точка принадлежит интервалу $[-5, -2)$, значит, $x=-3$ является критической точкой.
При $x > -2$: $f'(x) = ((x+1)^3)' = 3(x+1)^2$. Найдём стационарные точки:
$3(x+1)^2=0 \implies x=-1$.
Эта точка является правым концом заданного отрезка.
В точке $x=-2$ производная не существует, так как производные слева и справа не равны: $f'_{-}(-2)=-4(-2)-12 = -4$, а $f'_{+}(-2)=3(-2+1)^2=3$. Значит, $x=-2$ также является критической точкой (точкой излома).

Вычислим значения функции на концах отрезка $x=-5$, $x=-1$ и в критических точках $x=-3$, $x=-2$.
$f(-5) = -2(-5)^2 - 12(-5) - 17 = -50 + 60 - 17 = -7$.
$f(-3) = -2(-3)^2 - 12(-3) - 17 = -18 + 36 - 17 = 1$.
$f(-2) = -1$.
$f(-1) = (-1+1)^3 = 0$.

Сравнивая полученные значения $\{-7, 1, -1, 0\}$, находим, что наибольшее значение функции равно 1 (достигается при $x=-3$), а наименьшее равно -7 (достигается при $x=-5$).

Ответ: наибольшее значение 1, наименьшее значение -7.