Номер 305, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 4. Производная второго порядка, выпуклость и точка перегиба - номер 305, страница 126.

Условие.

305. Найти точки перегиба функции:

1) $f(x) = \cos x, -\pi < x < \pi;$

2) $f(x) = x^5 - 80x^2;$

3) $f(x) = x^3 - 2x^2 + x;$

4) $f(x) = \sin x - \frac{1}{4} \sin 2x, -\pi < x < \pi.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $f(x) = \cos x, -\pi < x < \pi$

Чтобы найти точки перегиба функции, необходимо найти ее вторую производную. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, являются кандидатами в точки перегиба. Если при переходе через такую точку знак второй производной меняется, то это точка перегиба.

1. Находим первую производную функции:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

2. Находим вторую производную:

$f''(x) = (-\sin x)' = -\cos x$

3. Приравниваем вторую производную к нулю, чтобы найти возможные точки перегиба:

$f''(x) = 0 \implies -\cos x = 0 \implies \cos x = 0$

На заданном интервале $(-\pi, \pi)$ решениями этого уравнения являются $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

4. Исследуем знак второй производной на интервалах, на которые точки $-\frac{\pi}{2}$ и $\frac{\pi}{2}$ разбивают область определения $(-\pi, \pi)$: $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$, $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}, \pi)$.

• На интервале $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$ выберем точку $x = -\frac{2\pi}{3}$. $f''(-\frac{2\pi}{3}) = -\cos(-\frac{2\pi}{3}) = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} > 0$. График функции вогнут вверх.
• На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ выберем точку $x = 0$. $f''(0) = -\cos(0) = -1 < 0$. График функции вогнут вниз (выпуклый).
• На интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ выберем точку $x = \frac{2\pi}{3}$. $f''(\frac{2\pi}{3}) = -\cos(\frac{2\pi}{3}) = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} > 0$. График функции вогнут вверх.

Так как в точках $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$ вторая производная меняет знак, то это и есть точки перегиба. Найдем ординаты этих точек:

$f(-\frac{\pi}{2}) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$

$f(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

Точки перегиба на графике: $(-\frac{\pi}{2}, 0)$ и $(\frac{\pi}{2}, 0)$.

Ответ: $x_1 = -\frac{\pi}{2}$, $x_2 = \frac{\pi}{2}$.

2) $f(x) = x^5 - 80x^2$

1. Находим первую производную:

$f'(x) = (x^5 - 80x^2)' = 5x^4 - 160x$

2. Находим вторую производную:

$f''(x) = (5x^4 - 160x)' = 20x^3 - 160$

3. Приравниваем вторую производную к нулю:

$f''(x) = 0 \implies 20x^3 - 160 = 0 \implies 20x^3 = 160 \implies x^3 = 8 \implies x = 2$.

4. Проверяем знак второй производной на интервалах $(-\infty, 2)$ и $(2, \infty)$.

• На интервале $(-\infty, 2)$: возьмем $x=0$. $f''(0) = 20(0)^3 - 160 = -160 < 0$. График вогнут вниз.
• На интервале $(2, \infty)$: возьмем $x=3$. $f''(3) = 20(3)^3 - 160 = 20 \cdot 27 - 160 = 540 - 160 = 380 > 0$. График вогнут вверх.

Знак второй производной меняется при переходе через точку $x=2$, следовательно, это точка перегиба. Найдем ординату этой точки:

$f(2) = 2^5 - 80(2^2) = 32 - 80 \cdot 4 = 32 - 320 = -288$.

Точка перегиба на графике: $(2, -288)$.

Ответ: $x=2$.

3) $f(x) = x^3 - 2x^2 + x$

1. Находим первую производную:

$f'(x) = (x^3 - 2x^2 + x)' = 3x^2 - 4x + 1$

2. Находим вторую производную:

$f''(x) = (3x^2 - 4x + 1)' = 6x - 4$

3. Приравниваем вторую производную к нулю:

$f''(x) = 0 \implies 6x - 4 = 0 \implies 6x = 4 \implies x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

4. Проверяем знак второй производной на интервалах $(-\infty, \frac{2}{3})$ и $(\frac{2}{3}, \infty)$.

• На интервале $(-\infty, \frac{2}{3})$: возьмем $x=0$. $f''(0) = 6(0) - 4 = -4 < 0$. График вогнут вниз.
• На интервале $(\frac{2}{3}, \infty)$: возьмем $x=1$. $f''(1) = 6(1) - 4 = 2 > 0$. График вогнут вверх.

Знак второй производной меняется при переходе через точку $x=\frac{2}{3}$, следовательно, это точка перегиба. Найдем ординату этой точки:

$f(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 - 2(\frac{2}{3})^2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{27} - 2(\frac{4}{9}) + \frac{2}{3} = \frac{8}{27} - \frac{24}{27} + \frac{18}{27} = \frac{8 - 24 + 18}{27} = \frac{2}{27}$.

Точка перегиба на графике: $(\frac{2}{3}, \frac{2}{27})$.

Ответ: $x=\frac{2}{3}$.

4) $f(x) = \sin x - \frac{1}{4} \sin 2x, -\pi < x < \pi$

1. Находим первую производную:

$f'(x) = (\sin x - \frac{1}{4} \sin 2x)' = \cos x - \frac{1}{4} \cos(2x) \cdot 2 = \cos x - \frac{1}{2}\cos 2x$

2. Находим вторую производную:

$f''(x) = (\cos x - \frac{1}{2}\cos 2x)' = -\sin x - \frac{1}{2}(-\sin(2x) \cdot 2) = -\sin x + \sin 2x$

3. Приравниваем вторую производную к нулю:

$f''(x) = 0 \implies \sin 2x - \sin x = 0$

Используем формулу двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$2\sin x \cos x - \sin x = 0$

$\sin x (2\cos x - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

$\sin x = 0 \quad$ или $\quad 2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}$

На заданном интервале $(-\pi, \pi)$ находим решения:

Для $\sin x = 0$ решением является $x=0$.

Для $\cos x = \frac{1}{2}$ решениями являются $x = -\frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{3}$.

Получили три возможные точки перегиба: $x=0, x=-\frac{\pi}{3}, x=\frac{\pi}{3}$.

4. Проверяем знак второй производной $f''(x) = \sin x (2\cos x - 1)$ на интервалах $(-\pi, -\frac{\pi}{3})$, $(-\frac{\pi}{3}, 0)$, $(0, \frac{\pi}{3})$ и $(\frac{\pi}{3}, \pi)$.

• На интервале $(-\pi, -\frac{\pi}{3})$: возьмем $x = -\frac{\pi}{2}$. $f''(-\frac{\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2})(2\cos(-\frac{\pi}{2}) - 1) = (-1)(0 - 1) = 1 > 0$. График вогнут вверх.
• На интервале $(-\frac{\pi}{3}, 0)$: возьмем $x = -\frac{\pi}{4}$. $\sin(-\frac{\pi}{4}) < 0$, $2\cos(-\frac{\pi}{4}) - 1 = \sqrt{2} - 1 > 0$. $f''(-\frac{\pi}{4}) < 0$. График вогнут вниз.
• На интервале $(0, \frac{\pi}{3})$: возьмем $x = \frac{\pi}{4}$. $\sin(\frac{\pi}{4}) > 0$, $2\cos(\frac{\pi}{4}) - 1 = \sqrt{2} - 1 > 0$. $f''(\frac{\pi}{4}) > 0$. График вогнут вверх.
• На интервале $(\frac{\pi}{3}, \pi)$: возьмем $x = \frac{\pi}{2}$. $f''(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2})(2\cos(\frac{\pi}{2}) - 1) = 1(0 - 1) = -1 < 0$. График вогнут вниз.

Знак второй производной меняется в каждой из точек $x=-\frac{\pi}{3}, x=0, x=\frac{\pi}{3}$, значит, все они являются точками перегиба. Найдем ординаты этих точек:

$f(-\frac{\pi}{3}) = \sin(-\frac{\pi}{3}) - \frac{1}{4}\sin(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{4}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{8} = -\frac{3\sqrt{3}}{8}$

$f(0) = \sin(0) - \frac{1}{4}\sin(0) = 0$

$f(\frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{1}{4}\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{4}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$

Точки перегиба на графике: $(-\frac{\pi}{3}, -\frac{3\sqrt{3}}{8})$, $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{3}, \frac{3\sqrt{3}}{8})$.

Ответ: $x_1 = -\frac{\pi}{3}$, $x_2 = 0$, $x_3 = \frac{\pi}{3}$.