Номер 309, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 4. Производная второго порядка, выпуклость и точка перегиба - номер 309, страница 133.

Условие.

309. 1) $y = x^4 - 2x^2 + 2;$

2) $y = \frac{1}{9} x^3 (x + 4);$

3) $y = \frac{1}{5} x^3 (8 - 3x);$

4) $y = 6x^4 - 4x^6.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = x^4 - 2x^2 + 2$

Для исследования функции на монотонность и экстремумы найдем ее производную.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = (x^4 - 2x^2 + 2)' = 4x^3 - 4x$.

3. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$4x^3 - 4x = 0$

$4x(x^2 - 1) = 0$

$4x(x - 1)(x + 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

4. Эти точки делят числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$. Определим знак производной в каждом интервале:

• При $x \in (-\infty; -1)$, например $x = -2$, $y'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 + 8 = -24 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (-1; 0)$, например $x = -0.5$, $y'(-0.5) = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = -0.5 + 2 = 1.5 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (0; 1)$, например $x = 0.5$, $y'(0.5) = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 0.5 - 2 = -1.5 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (1; +\infty)$, например $x = 2$, $y'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24 > 0$. Функция возрастает.

5. Промежутки монотонности:

• Функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$.
• Функция убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$.

6. Точки экстремума:

• В точке $x = -1$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1$.
• В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 2 = 2$.
• В точке $x = 1$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1$.

Ответ: функция возрастает на $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$, убывает на $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$; $x_{min} = -1$, $y_{min} = 1$; $x_{max} = 0$, $y_{max} = 2$; $x_{min} = 1$, $y_{min} = 1$.

2) $y = \frac{1}{9}x^3(x + 4)$

Раскроем скобки для удобства дифференцирования: $y = \frac{1}{9}x^4 + \frac{4}{9}x^3$.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = (\frac{1}{9}x^4 + \frac{4}{9}x^3)' = \frac{4}{9}x^3 + \frac{12}{9}x^2 = \frac{4}{9}x^3 + \frac{4}{3}x^2$.

3. Находим критические точки:

$\frac{4}{9}x^3 + \frac{4}{3}x^2 = 0$

$\frac{4}{9}x^2(x + 3) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -3$.

4. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; +\infty)$. Определим знак производной:

• При $x \in (-\infty; -3)$, например $x = -4$, $y'(-4) = \frac{4}{9}(-4)^2(-4 + 3) = \frac{4}{9}(16)(-1) < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (-3; 0)$, например $x = -1$, $y'(-1) = \frac{4}{9}(-1)^2(-1 + 3) = \frac{4}{9}(1)(2) > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (0; +\infty)$, например $x = 1$, $y'(1) = \frac{4}{9}(1)^2(1 + 3) = \frac{4}{9}(1)(4) > 0$. Функция возрастает.

5. Промежутки монотонности:

• Функция возрастает на промежутке $[-3; +\infty)$.
• Функция убывает на промежутке $(-\infty; -3]$.

6. Точки экстремума:

• В точке $x = -3$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(-3) = \frac{1}{9}(-3)^3(-3 + 4) = \frac{1}{9}(-27)(1) = -3$.
• В точке $x = 0$ производная не меняет знак, поэтому $x=0$ не является точкой экстремума (это точка перегиба).

Ответ: функция возрастает на $[-3; +\infty)$, убывает на $(-\infty; -3]$; $x_{min} = -3$, $y_{min} = -3$.

3) $y = \frac{1}{5}x^3(8 - 3x)$

Раскроем скобки: $y = \frac{8}{5}x^3 - \frac{3}{5}x^4$.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = (\frac{8}{5}x^3 - \frac{3}{5}x^4)' = \frac{24}{5}x^2 - \frac{12}{5}x^3$.

3. Находим критические точки:

$\frac{24}{5}x^2 - \frac{12}{5}x^3 = 0$

$\frac{12}{5}x^2(2 - x) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

4. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$. Определим знак производной:

• При $x \in (-\infty; 0)$, например $x = -1$, $y'(-1) = \frac{12}{5}(-1)^2(2 - (-1)) = \frac{12}{5}(1)(3) > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (0; 2)$, например $x = 1$, $y'(1) = \frac{12}{5}(1)^2(2 - 1) = \frac{12}{5}(1)(1) > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (2; +\infty)$, например $x = 3$, $y'(3) = \frac{12}{5}(3)^2(2 - 3) = \frac{12}{5}(9)(-1) < 0$. Функция убывает.

5. Промежутки монотонности:

• Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 2]$.
• Функция убывает на промежутке $[2; +\infty)$.

6. Точки экстремума:

• В точке $x = 0$ производная не меняет знак, поэтому $x=0$ не является точкой экстремума (это точка перегиба).
• В точке $x = 2$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(2) = \frac{1}{5}(2)^3(8 - 3 \cdot 2) = \frac{8}{5}(8 - 6) = \frac{8}{5} \cdot 2 = \frac{16}{5} = 3.2$.

Ответ: функция возрастает на $(-\infty; 2]$, убывает на $[2; +\infty)$; $x_{max} = 2$, $y_{max} = 3.2$.

4) $y = 6x^4 - 4x^6$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:

$y' = (6x^4 - 4x^6)' = 24x^3 - 24x^5$.

3. Находим критические точки:

$24x^3 - 24x^5 = 0$

$24x^3(1 - x^2) = 0$

$24x^3(1 - x)(1 + x) = 0$

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

4. Эти точки делят числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$. Определим знак производной:

• При $x \in (-\infty; -1)$, например $x = -2$, $y'(-2) = 24(-2)^3(1 - (-2)^2) = 24(-8)(-3) > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (-1; 0)$, например $x = -0.5$, $y'(-0.5) = 24(-0.5)^3(1 - (-0.5)^2) = 24(-0.125)(0.75) < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (0; 1)$, например $x = 0.5$, $y'(0.5) = 24(0.5)^3(1 - 0.5^2) = 24(0.125)(0.75) > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (1; +\infty)$, например $x = 2$, $y'(2) = 24(2)^3(1 - 2^2) = 24(8)(-3) < 0$. Функция убывает.

5. Промежутки монотонности:

• Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$.
• Функция убывает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$.

6. Точки экстремума:

• В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума. $y_{max} = y(-1) = 6(-1)^4 - 4(-1)^6 = 6 - 4 = 2$.
• В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума. $y_{min} = y(0) = 6(0)^4 - 4(0)^6 = 0$.
• В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума. $y_{max} = y(1) = 6(1)^4 - 4(1)^6 = 6 - 4 = 2$.

Ответ: функция возрастает на $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$, убывает на $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$; $x_{max} = -1$, $y_{max} = 2$; $x_{min} = 0$, $y_{min} = 0$; $x_{max} = 1$, $y_{max} = 2$.