Номер 306, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 4. Производная второго порядка, выпуклость и точка перегиба. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 306, страница 126.

Условие.

306. Найти интервалы выпуклости вверх и интервалы выпуклости вниз функции:

1) $f(x) = (x^2 - 3x + 2)e^x$;

2) $f(x) = x^3 - 6x \ln x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения интервалов выпуклости вверх и выпуклости вниз функции $f(x) = (x^2 - 3x + 2)e^x$ необходимо исследовать знак ее второй производной.

Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$, так как и многочлен, и показательная функция определены для всех действительных чисел.

Найдем первую производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x^2 - 3x + 2)'e^x + (x^2 - 3x + 2)(e^x)' = (2x - 3)e^x + (x^2 - 3x + 2)e^x$.

Вынесем $e^x$ за скобки и упростим выражение:

$f'(x) = (2x - 3 + x^2 - 3x + 2)e^x = (x^2 - x - 1)e^x$.

Теперь найдем вторую производную, снова применяя правило произведения:

$f''(x) = (x^2 - x - 1)'e^x + (x^2 - x - 1)(e^x)' = (2x - 1)e^x + (x^2 - x - 1)e^x$.

Упростим выражение для второй производной:

$f''(x) = (2x - 1 + x^2 - x - 1)e^x = (x^2 + x - 2)e^x$.

Приравняем вторую производную к нулю для нахождения возможных точек перегиба:

$f''(x) = 0 \Rightarrow (x^2 + x - 2)e^x = 0$.

Поскольку $e^x > 0$ для любого действительного $x$, то равенство возможно только если $x^2 + x - 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак $f''(x)$ на каждом из этих интервалов. Знак $f''(x)$ совпадает со знаком квадратного трехчлена $x^2 + x - 2$, который представляет собой параболу с ветвями вверх.

- На интервале $(-\infty, -2)$, $f''(x) > 0$. Следовательно, функция выпукла вниз.

- На интервале $(-2, 1)$, $f''(x) < 0$. Следовательно, функция выпукла вверх.

- На интервале $(1, +\infty)$, $f''(x) > 0$. Следовательно, функция выпукла вниз.

Ответ: функция выпукла вверх на интервале $(-2, 1)$; выпукла вниз на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(1, +\infty)$.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - 6x \ln x$.

Область определения функции задается условием для натурального логарифма: $x > 0$. Таким образом, $D(f) = (0, +\infty)$.

Найдем первую производную функции:

$f'(x) = (x^3)' - (6x \ln x)' = 3x^2 - ( (6x)'\ln x + 6x(\ln x)' ) = 3x^2 - (6\ln x + 6x \cdot \frac{1}{x}) = 3x^2 - 6\ln x - 6$.

Найдем вторую производную:

$f''(x) = (3x^2 - 6\ln x - 6)' = 6x - 6 \cdot \frac{1}{x} = 6x - \frac{6}{x}$.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:

$f''(x) = 0 \Rightarrow 6x - \frac{6}{x} = 0$.

Приведем к общему знаменателю: $\frac{6x^2 - 6}{x} = 0$.

Так как $x \in (0, +\infty)$, то $x \neq 0$. Решаем уравнение $6x^2 - 6 = 0$, откуда $x^2 = 1$.

Учитывая область определения $x > 0$, получаем единственный корень $x = 1$.

Эта точка делит область определения $(0, +\infty)$ на два интервала: $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак $f''(x)$ на каждом из них.

- На интервале $(0, 1)$, выберем пробную точку $x=0.5$. $f''(0.5) = 6(0.5) - \frac{6}{0.5} = 3 - 12 = -9 < 0$. Следовательно, функция выпукла вверх.

- На интервале $(1, +\infty)$, выберем пробную точку $x=2$. $f''(2) = 6(2) - \frac{6}{2} = 12 - 3 = 9 > 0$. Следовательно, функция выпукла вниз.

Ответ: функция выпукла вверх на интервале $(0, 1)$; выпукла вниз на интервале $(1, +\infty)$.