Номер 313, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 4. Производная второго порядка, выпуклость и точка перегиба - номер 313, страница 133.

Условие.

313. 1) $y = 3x + \frac{1}{3x}$;

2) $y = x - \frac{9}{x}$;

3) $y = \frac{4}{x} - x$;

4) $y = x - \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дана функция $y = 3x + \frac{1}{3x}$.

Для нахождения производной представим функцию в виде суммы степенных функций. Учтем, что $\frac{1}{x} = x^{-1}$.

$y = 3x + \frac{1}{3}x^{-1}$

Теперь применим правила дифференцирования: производная суммы равна сумме производных, а константу можно выносить за знак производной. Также используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$y' = (3x + \frac{1}{3}x^{-1})' = (3x)' + (\frac{1}{3}x^{-1})' = 3 \cdot (x)' + \frac{1}{3} \cdot (x^{-1})'$

$y' = 3 \cdot 1 \cdot x^{1-1} + \frac{1}{3} \cdot (-1) \cdot x^{-1-1} = 3x^0 - \frac{1}{3}x^{-2}$

Так как $x^0 = 1$ и $x^{-2} = \frac{1}{x^2}$, получаем окончательный вид производной:

$y' = 3 - \frac{1}{3x^2}$

Ответ: $y' = 3 - \frac{1}{3x^2}$.

2) Дана функция $y = x - \frac{9}{x}$.

Представим функцию в виде $y = x - 9x^{-1}$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования разности и формулу производной степенной функции:

$y' = (x - 9x^{-1})' = (x)' - (9x^{-1})' = 1 - 9 \cdot (-1) \cdot x^{-1-1} = 1 + 9x^{-2}$

Перепишем результат в виде дроби:

$y' = 1 + \frac{9}{x^2}$

Ответ: $y' = 1 + \frac{9}{x^2}$.

3) Дана функция $y = \frac{4}{x} - x$.

Представим функцию в виде $y = 4x^{-1} - x$.

Найдем производную:

$y' = (4x^{-1} - x)' = (4x^{-1})' - (x)' = 4 \cdot (-1) \cdot x^{-1-1} - 1 = -4x^{-2} - 1$

Перепишем результат в виде дроби:

$y' = - \frac{4}{x^2} - 1$

Ответ: $y' = -1 - \frac{4}{x^2}$.

4) Дана функция $y = x - \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Для нахождения производной представим функцию в виде разности степенных функций. Учтем, что $\sqrt{x} = x^{1/2}$, следовательно, $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$.

$y = x - x^{-1/2}$

Найдем производную, используя те же правила:

$y' = (x - x^{-1/2})' = (x)' - (x^{-1/2})' = 1 - (-\frac{1}{2})x^{-1/2 - 1} = 1 + \frac{1}{2}x^{-3/2}$

Перепишем результат, используя корень. Так как $x^{-3/2} = \frac{1}{x^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{x^3}} = \frac{1}{x\sqrt{x}}$, получаем:

$y' = 1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = 1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$.