Номер 317, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 4. Производная второго порядка, выпуклость и точка перегиба - номер 317, страница 133.

Условие.

317.1) $y = x^3 - x^2 - x + 1$;

2) $y = x^3 - x^2 + x - 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = x^3 - x^2 - x + 1$

Для решения задачи проведем полное исследование функции.

1. Область определения функции.

Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

- С осью OY: при $x = 0$ имеем $y = 0^3 - 0^2 - 0 + 1 = 1$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 1)$.

- С осью OX: при $y = 0$ имеем $x^3 - x^2 - x + 1 = 0$. Разложим левую часть на множители методом группировки:

$x^2(x - 1) - (x - 1) = 0$

$(x^2 - 1)(x - 1) = 0$

$(x - 1)(x + 1)(x - 1) = 0$

$(x - 1)^2(x + 1) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$ (корень кратности 2). Точки пересечения с осью OX: $(-1, 0)$ и $(1, 0)$. В точке $(1, 0)$ график касается оси OX.

3. Четность функции.

Найдем $y(-x)$: $y(-x) = (-x)^3 - (-x)^2 - (-x) + 1 = -x^3 - x^2 + x + 1$.

Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

4. Асимптоты.

Поскольку функция является многочленом, она непрерывна на всей числовой прямой, поэтому вертикальных асимптот нет. Горизонтальных и наклонных асимптот также нет, так как $\lim_{x \to \pm\infty} y(x) = \pm\infty$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную функции: $y' = (x^3 - x^2 - x + 1)' = 3x^2 - 2x - 1$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 - 2x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

Корни: $x_1 = \frac{2 - \sqrt{16}}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$; $x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения:

- На интервале $(-\infty, -1/3)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(-1/3, 1)$ производная $y' < 0$, функция убывает.

- На интервале $(1, \infty)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.

Точка $x = -1/3$ является точкой локального максимума. $y_{max} = y(-1/3) = (-\frac{1}{3})^3 - (-\frac{1}{3})^2 - (-\frac{1}{3}) + 1 = -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 1 = \frac{32}{27}$.

Точка $x = 1$ является точкой локального минимума. $y_{min} = y(1) = 1^3 - 1^2 - 1 + 1 = 0$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Найдем вторую производную функции: $y'' = (3x^2 - 2x - 1)' = 6x - 2$.

Найдем точку, в которой вторая производная равна нулю: $6x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1/3$.

- На интервале $(-\infty, 1/3)$ вторая производная $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).

- На интервале $(1/3, \infty)$ вторая производная $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).

Точка $x = 1/3$ является точкой перегиба. $y(1/3) = (\frac{1}{3})^3 - (\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} + 1 = \frac{16}{27}$. Точка перегиба: $(1/3, 16/27)$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, -1/3]$ и $[1, \infty)$, убывает на $[-1/3, 1]$. Точка максимума $(-1/3, 32/27)$, точка минимума $(1, 0)$. График выпуклый вверх на $(-\infty, 1/3)$ и выпуклый вниз на $(1/3, \infty)$. Точка перегиба $(1/3, 16/27)$. Пересечение с осями в точках $(-1, 0)$, $(1, 0)$ и $(0, 1)$.

2) $y = x^3 - x^2 + x - 1$

Для решения задачи проведем полное исследование функции.

1. Область определения функции.

Функция является многочленом, область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

- С осью OY: при $x = 0$ имеем $y = 0^3 - 0^2 + 0 - 1 = -1$. Точка пересечения: $(0, -1)$.

- С осью OX: при $y = 0$ имеем $x^3 - x^2 + x - 1 = 0$. Разложим на множители:

$x^2(x - 1) + (x - 1) = 0$

$(x^2 + 1)(x - 1) = 0$

Уравнение $x^2 + 1 = 0$ не имеет действительных корней. Единственный корень: $x = 1$. Точка пересечения: $(1, 0)$.

3. Четность функции.

Найдем $y(-x)$: $y(-x) = (-x)^3 - (-x)^2 + (-x) - 1 = -x^3 - x^2 - x - 1$.

Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида.

4. Асимптоты.

Вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот нет (так как это многочлен).

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную: $y' = (x^3 - x^2 + x - 1)' = 3x^2 - 2x + 1$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 - 2x + 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8$.

Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен (a=3 > 0), то парабола $y = 3x^2 - 2x + 1$ полностью лежит выше оси OX. Это означает, что $y' > 0$ для всех $x$.

Следовательно, функция строго возрастает на всей области определения $(-\infty, \infty)$. Локальных экстремумов нет.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = (3x^2 - 2x + 1)' = 6x - 2$.

Найдем точку, в которой вторая производная равна нулю: $6x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1/3$.

- На интервале $(-\infty, 1/3)$ вторая производная $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).

- На интервале $(1/3, \infty)$ вторая производная $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).

Точка $x = 1/3$ является точкой перегиба. $y(1/3) = (\frac{1}{3})^3 - (\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} - 1 = \frac{1}{27} - \frac{3}{27} + \frac{9}{27} - \frac{27}{27} = -\frac{20}{27}$. Точка перегиба: $(1/3, -20/27)$.

Ответ: Функция строго возрастает на всей числовой оси $(-\infty, \infty)$. Локальных экстремумов нет. График выпуклый вверх на $(-\infty, 1/3)$ и выпуклый вниз на $(1/3, \infty)$. Точка перегиба $(1/3, -20/27)$. Пересечение с осями в точках $(1, 0)$ и $(0, -1)$.