Номер 319, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 319, страница 134.

Условие.

319. Найти интервалы возрастания и убывания функции:

1) $y = 2x^3 + 3x^2 - 2;$

2) $y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5;$

3) $y = \frac{3}{x} - 1;$

4) $y = \frac{2}{x-3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти область определения функции.
2. Найти производную функции $y'$.
3. Найти критические точки, в которых производная равна нулю или не существует.
4. Определить знак производной на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками.
5. Если на интервале $y' > 0$, то функция возрастает. Если $y' < 0$, то функция убывает.

1) $y = 2x^3 + 3x^2 - 2$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен.

2. Находим производную функции:
$y' = (2x^3 + 3x^2 - 2)' = 2 \cdot 3x^2 + 3 \cdot 2x - 0 = 6x^2 + 6x$.

3. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:
$y' = 0 \implies 6x^2 + 6x = 0$
$6x(x+1) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$.

4. Критические точки $-1$ и $0$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$ и $(0; +\infty)$. Определим знак производной на каждом интервале:
- На интервале $(-\infty; -1)$, возьмем $x = -2$: $y'(-2) = 6(-2)^2 + 6(-2) = 24 - 12 = 12 > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(-1; 0)$, возьмем $x = -0.5$: $y'(-0.5) = 6(-0.5)^2 + 6(-0.5) = 1.5 - 3 = -1.5 < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(0; +\infty)$, возьмем $x = 1$: $y'(1) = 6(1)^2 + 6(1) = 12 > 0$. Функция возрастает.

5. Так как функция непрерывна в точках $x=-1$ и $x=0$, их можно включить в интервалы монотонности.

Ответ: функция возрастает на интервалах $(-\infty; -1]$ и $[0; +\infty)$, убывает на интервале $[-1; 0]$.

2) $y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную:
$y' = (\frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5)' = \frac{2}{3} \cdot 3x^2 - 2x - 4 = 2x^2 - 2x - 4$.

3. Находим критические точки:
$y' = 0 \implies 2x^2 - 2x - 4 = 0$
$x^2 - x - 2 = 0$
Используя теорему Виета или формулу корней квадратного уравнения, находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

4. Критические точки $-1$ и $2$ разбивают числовую ось на интервалы $(-\infty; -1)$, $(-1; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак производной (которая является параболой с ветвями вверх):
- На интервале $(-\infty; -1)$, возьмем $x = -2$: $y'(-2) = 2(-2)^2 - 2(-2) - 4 = 8 + 4 - 4 = 8 > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(-1; 2)$, возьмем $x = 0$: $y'(0) = 2(0)^2 - 2(0) - 4 = -4 < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(2; +\infty)$, возьмем $x = 3$: $y'(3) = 2(3)^2 - 2(3) - 4 = 18 - 6 - 4 = 8 > 0$. Функция возрастает.

5. Функция непрерывна в критических точках, поэтому их можно включить в интервалы.

Ответ: функция возрастает на интервалах $(-\infty; -1]$ и $[2; +\infty)$, убывает на интервале $[-1; 2]$.

3) $y = \frac{3}{x} - 1$

1. Область определения: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Находим производную:
$y' = (\frac{3}{x} - 1)' = (3x^{-1} - 1)' = -3x^{-2} = -\frac{3}{x^2}$.

3. Находим критические точки.
- Уравнение $y' = 0 \implies -\frac{3}{x^2} = 0$ не имеет решений.
- Производная не существует в точке $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции.

4. Таким образом, критических точек нет. Анализируем знак производной на всей области определения.
Выражение $y' = -\frac{3}{x^2}$ всегда отрицательно для любого $x \neq 0$, так как $x^2 > 0$.
Следовательно, функция убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

4) $y = \frac{2}{x-3}$

1. Область определения: $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$. $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Находим производную:
$y' = (\frac{2}{x-3})' = (2(x-3)^{-1})' = 2 \cdot (-1)(x-3)^{-2} \cdot (x-3)' = -2(x-3)^{-2} = -\frac{2}{(x-3)^2}$.

3. Находим критические точки.
- Уравнение $y' = 0 \implies -\frac{2}{(x-3)^2} = 0$ не имеет решений.
- Производная не существует в точке $x=3$, которая не входит в область определения функции.

4. Критических точек нет. Анализируем знак производной.
Выражение $y' = -\frac{2}{(x-3)^2}$ всегда отрицательно для любого $x \neq 3$, так как $(x-3)^2 > 0$.
Следовательно, функция убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на интервалах $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$.