Номер 325, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе III - номер 325, страница 134.

Условие.

325. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $f(x)=x^3-6x^2+9$ на отрезке $[-2; 2];$

2) $f(x)=x^3+6x^2+9x$ на отрезке $[-4; 0];$

3) $f(x)=x^4-2x^2+3$ на отрезке $[-4; 3];$

4) $f(x)=x^4-8x^2+5$ на отрезке $[-3; 2].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для функции $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9$ на отрезке $[-2; 2]$ найдем наибольшее и наименьшее значения, следуя алгоритму:
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 9)' = 3x^2 - 12x$.
2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:
$3x^2 - 12x = 0$
$3x(x - 4) = 0$
Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
3. Проверяем, какие из критических точек принадлежат заданному отрезку $[-2; 2]$.
Точка $x_1 = 0$ принадлежит отрезку $[-2; 2]$.
Точка $x_2 = 4$ не принадлежит отрезку $[-2; 2]$.
4. Вычисляем значения функции в критической точке, принадлежащей отрезку, и на концах отрезка:
$f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 9 = 9$
$f(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 + 9 = -8 - 6(4) + 9 = -8 - 24 + 9 = -23$
$f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9 = 8 - 6(4) + 9 = 8 - 24 + 9 = -7$
5. Сравниваем полученные значения: $9$, $-23$, $-7$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно 9, а наименьшее равно -23.
Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 9$, наименьшее значение $y_{наим} = -23$.

2) Для функции $f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x$ на отрезке $[-4; 0]$ найдем наибольшее и наименьшее значения:
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^3 + 6x^2 + 9x)' = 3x^2 + 12x + 9$.
2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$3x^2 + 12x + 9 = 0$
Делим обе части на 3: $x^2 + 4x + 3 = 0$.
Корни этого квадратного уравнения (по теореме Виета или через дискриминант): $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.
3. Обе критические точки, $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$, принадлежат отрезку $[-4; 0]$.
4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:
$f(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) = -1 + 6 - 9 = -4$
$f(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 9(-3) = -27 + 54 - 27 = 0$
$f(-4) = (-4)^3 + 6(-4)^2 + 9(-4) = -64 + 6(16) - 36 = -64 + 96 - 36 = -4$
$f(0) = 0^3 + 6(0)^2 + 9(0) = 0$
5. Сравниваем полученные значения: $-4$, $0$, $-4$, $0$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно 0, а наименьшее равно -4.
Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 0$, наименьшее значение $y_{наим} = -4$.

3) Для функции $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ на отрезке $[-4; 3]$ найдем наибольшее и наименьшее значения:
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^4 - 2x^2 + 3)' = 4x^3 - 4x$.
2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:
$4x^3 - 4x = 0$
$4x(x^2 - 1) = 0$
$4x(x - 1)(x + 1) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.
3. Все три критические точки принадлежат отрезку $[-4; 3]$.
4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:
$f(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 3 = 3$
$f(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$
$f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$
$f(-4) = (-4)^4 - 2(-4)^2 + 3 = 256 - 2(16) + 3 = 256 - 32 + 3 = 227$
$f(3) = 3^4 - 2(3)^2 + 3 = 81 - 2(9) + 3 = 81 - 18 + 3 = 66$
5. Сравниваем полученные значения: $3$, $2$, $2$, $227$, $66$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно 227, а наименьшее равно 2.
Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 227$, наименьшее значение $y_{наим} = 2$.

4) Для функции $f(x) = x^4 - 8x^2 + 5$ на отрезке $[-3; 2]$ найдем наибольшее и наименьшее значения:
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^4 - 8x^2 + 5)' = 4x^3 - 16x$.
2. Находим критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:
$4x^3 - 16x = 0$
$4x(x^2 - 4) = 0$
$4x(x - 2)(x + 2) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.
3. Все три критические точки принадлежат отрезку $[-3; 2]$ (точка $x=2$ является также концом отрезка).
4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:
$f(0) = 0^4 - 8(0)^2 + 5 = 5$
$f(2) = 2^4 - 8(2)^2 + 5 = 16 - 8(4) + 5 = 16 - 32 + 5 = -11$
$f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 5 = 16 - 8(4) + 5 = 16 - 32 + 5 = -11$
$f(-3) = (-3)^4 - 8(-3)^2 + 5 = 81 - 8(9) + 5 = 81 - 72 + 5 = 14$
5. Сравниваем полученные значения: $5$, $-11$, $-11$, $14$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно 14, а наименьшее равно -11.
Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 14$, наименьшее значение $y_{наим} = -11$.