Номер 323, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе III - номер 323, страница 134.

Условие.

323. Построить график функции:

1) $y = -x^4 + 8x^2 - 16;$

2) $y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{24}x^6;$

3) $y = \frac{x^3}{3} + 3x^2;$

4) $y = \frac{x^4}{4} + x^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = -x^4 + 8x^2 - 16$

Для построения графика функции проведем ее полное исследование.

• Область определения. Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность и симметрия. Проверим функцию на четность: $y(-x) = -(-x)^4 + 8(-x)^2 - 16 = -x^4 + 8x^2 - 16 = y(x)$. Функция является четной, следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
• Точки пересечения с осями координат.
  • С осью Oy: при $x=0$ имеем $y = -16$. Точка пересечения — $(0, -16)$.
  • С осью Ox: при $y=0$ получаем уравнение $-x^4 + 8x^2 - 16 = 0$. Умножим обе части на -1: $x^4 - 8x^2 + 16 = 0$. Это выражение является полным квадратом: $(x^2 - 4)^2 = 0$. Отсюда следует, что $x^2 - 4 = 0$, то есть $x^2 = 4$, и $x = \pm 2$. Точки пересечения (касания) с осью Ox: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.
• Асимптоты. Так как функция является многочленом, вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты отсутствуют.
• Возрастание, убывание и точки экстремума. Найдем первую производную функции: $y' = (-x^4 + 8x^2 - 16)' = -4x^3 + 16x$. Разложим на множители: $y' = -4x(x^2 - 4) = -4x(x-2)(x+2)$. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y'=0$ при $x=0$, $x=-2$, $x=2$. Определим знаки производной на интервалах:
  • На интервалах $(-\infty; -2)$ и $(0; 2)$ имеем $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
  • На интервалах $(-2; 0)$ и $(2; +\infty)$ имеем $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
  • В точке $x=-2$ возрастание сменяется убыванием, это точка максимума. $y(-2) = -(-2)^4 + 8(-2)^2 - 16 = -16 + 32 - 16 = 0$.
  • В точке $x=0$ убывание сменяется возрастанием, это точка минимума. $y(0) = -16$.
  • В точке $x=2$ возрастание сменяется убыванием, это точка максимума. $y(2) = -(2)^4 + 8(2)^2 - 16 = -16 + 32 - 16 = 0$.
• Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Найдем вторую производную: $y'' = (-4x^3 + 16x)' = -12x^2 + 16 = -4(3x^2 - 4)$. Найдем точки, где $y''=0$: $3x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4/3 \implies x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$. Определим знаки второй производной:
  • На интервалах $(-\infty; -2/\sqrt{3})$ и $(2/\sqrt{3}; +\infty)$ имеем $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).
  • На интервале $(-2/\sqrt{3}; 2/\sqrt{3})$ имеем $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).
  • Точки $x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$ являются абсциссами точек перегиба. Найдем их ординаты: $y(\pm \frac{2}{\sqrt{3}}) = -(\frac{4}{3})^2 + 8(\frac{4}{3}) - 16 = -\frac{16}{9} + \frac{32}{3} - 16 = \frac{-16+96-144}{9} = -\frac{64}{9}$. Точки перегиба: $(\pm \frac{2}{\sqrt{3}}, -\frac{64}{9})$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси ординат. Он имеет два максимума в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$ и один минимум в точке $(0, -16)$. График касается оси абсцисс в точках максимума. Также имеются две точки перегиба $(\pm \frac{2}{\sqrt{3}}, -\frac{64}{9})$. Ветви графика уходят в $-\infty$ при $x \to \pm\infty$. Форма графика напоминает букву «М».

---

2) $y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{24}x^6$

Проведем исследование функции для построения графика.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: $y(-x) = \frac{1}{4}(-x)^4 - \frac{1}{24}(-x)^6 = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{24}x^6 = y(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси Oy.
• Точки пересечения с осями:
  • С осью Oy: при $x=0$ имеем $y=0$. Точка $(0, 0)$.
  • С осью Ox: при $y=0$ имеем $\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{24}x^6 = 0 \implies \frac{x^4}{24}(6 - x^2) = 0$. Корни уравнения: $x=0$ и $x=\pm\sqrt{6}$. Точки пересечения: $(0, 0)$, $(-\sqrt{6}, 0)$ и $(\sqrt{6}, 0)$.
• Асимптоты: Отсутствуют.
• Возрастание, убывание и экстремумы: $y' = x^3 - \frac{6}{24}x^5 = x^3 - \frac{1}{4}x^5 = x^3(1 - \frac{1}{4}x^2) = \frac{x^3}{4}(4-x^2)$. Критические точки ($y'=0$): $x=0, x=\pm2$.
  • На интервалах $(-\infty; -2)$ и $(0; 2)$ имеем $y' > 0$, функция возрастает.
  • На интервалах $(-2; 0)$ и $(2; +\infty)$ имеем $y' < 0$, функция убывает.
  • $x=-2$ — точка максимума. $y(-2) = \frac{1}{4}(-2)^4 - \frac{1}{24}(-2)^6 = \frac{16}{4} - \frac{64}{24} = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$.
  • $x=0$ — точка минимума. $y(0) = 0$.
  • $x=2$ — точка максимума. $y(2) = \frac{4}{3}$.
• Выпуклость, вогнутость и точки перегиба: $y'' = 3x^2 - \frac{5}{4}x^4 = x^2(3 - \frac{5}{4}x^2)$. $y''=0$ при $x=0$ или $3 - \frac{5}{4}x^2 = 0 \implies x^2 = \frac{12}{5} \implies x = \pm\sqrt{\frac{12}{5}} = \pm \frac{2\sqrt{15}}{5}$.
  • На интервалах $(-\infty; -\sqrt{12/5})$ и $(\sqrt{12/5}; +\infty)$ имеем $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
  • На интервалах $(-\sqrt{12/5}; 0)$ и $(0; \sqrt{12/5})$ имеем $y'' > 0$, график выпуклый вниз. В точке $x=0$ знак второй производной не меняется.
  • Точки перегиба при $x = \pm\sqrt{\frac{12}{5}}$. Ординаты: $y(\pm\sqrt{\frac{12}{5}}) = \frac{1}{4}(\frac{12}{5})^2 - \frac{1}{24}(\frac{12}{5})^3 = \frac{36}{25} - \frac{72}{125} = \frac{180-72}{125} = \frac{108}{125}$. Точки: $(\pm \sqrt{\frac{12}{5}}, \frac{108}{125})$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси ординат. Ветви графика уходят в $-\infty$ при $x \to \pm\infty$. Он возрастает до максимума в точке $(-2, 4/3)$, затем убывает до минимума в точке $(0, 0)$, снова возрастает до максимума в $(2, 4/3)$ и убывает. График пересекает ось абсцисс в точках $(-\sqrt{6}, 0)$, $(0, 0)$ и $(\sqrt{6}, 0)$. Точки перегиба: $(\pm\sqrt{12/5}, 108/125)$.

---

3) $y = \frac{x^3}{3} + 3x^2$

Проведем исследование функции для построения графика.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: $y(-x) = \frac{(-x)^3}{3} + 3(-x)^2 = -\frac{x^3}{3} + 3x^2$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида. Симметрии нет.
• Точки пересечения с осями:
  • С осью Oy: при $x=0$ имеем $y=0$. Точка $(0, 0)$.
  • С осью Ox: при $y=0$ имеем $\frac{x^3}{3} + 3x^2 = 0 \implies x^2(\frac{x}{3} + 3) = 0$. Корни: $x=0$ и $x=-9$. Точки: $(0, 0)$ и $(-9, 0)$.
• Асимптоты: Отсутствуют.
• Возрастание, убывание и экстремумы: $y' = (\frac{x^3}{3} + 3x^2)' = x^2 + 6x = x(x+6)$. Критические точки ($y'=0$): $x=0, x=-6$.
  • На интервалах $(-\infty; -6)$ и $(0; +\infty)$ имеем $y' > 0$, функция возрастает.
  • На интервале $(-6; 0)$ имеем $y' < 0$, функция убывает.
  • $x=-6$ — точка максимума. $y(-6) = \frac{(-6)^3}{3} + 3(-6)^2 = -72 + 108 = 36$.
  • $x=0$ — точка минимума. $y(0) = 0$.
• Выпуклость, вогнутость и точки перегиба: $y'' = (x^2 + 6x)' = 2x + 6$. $y''=0$ при $x = -3$.
  • На интервале $(-\infty; -3)$ имеем $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
  • На интервале $(-3; +\infty)$ имеем $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
  • $x = -3$ — абсцисса точки перегиба. $y(-3) = \frac{(-3)^3}{3} + 3(-3)^2 = -9 + 27 = 18$. Точка перегиба: $(-3, 18)$.

Ответ: График функции представляет собой кубическую кривую. Он пересекает оси в точках $(-9, 0)$ и $(0, 0)$. Локальный максимум находится в точке $(-6, 36)$, локальный минимум — в точке $(0, 0)$. Точка перегиба — $(-3, 18)$. При $x \to -\infty$, $y \to -\infty$, а при $x \to +\infty$, $y \to +\infty$.

---

4) $y = \frac{x^4}{4} + x^2$

Проведем исследование функции для построения графика.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: $y(-x) = \frac{(-x)^4}{4} + (-x)^2 = \frac{x^4}{4} + x^2 = y(x)$. Функция четная, график симметричен относительно оси Oy.
• Точки пересечения с осями:
  • При $x=0$ имеем $y=0$.
  • При $y=0$ имеем $\frac{x^4}{4} + x^2 = 0 \implies x^2(\frac{x^2}{4} + 1) = 0$. Единственный действительный корень $x=0$.
  • Единственная точка пересечения с осями — начало координат $(0, 0)$.
• Асимптоты: Отсутствуют.
• Возрастание, убывание и экстремумы: $y' = (\frac{x^4}{4} + x^2)' = x^3 + 2x = x(x^2+2)$. Критическая точка ($y'=0$): $x=0$ (так как $x^2+2 > 0$ всегда).
  • На интервале $(-\infty; 0)$ имеем $y' < 0$, функция убывает.
  • На интервале $(0; +\infty)$ имеем $y' > 0$, функция возрастает.
  • $x=0$ — точка минимума. $y(0) = 0$. Это глобальный минимум, так как $y(x) = x^2(\frac{x^2}{4} + 1) \ge 0$ для всех $x$.
• Выпуклость, вогнутость и точки перегиба: $y'' = (x^3 + 2x)' = 3x^2 + 2$. Так как $y'' = 3x^2 + 2 > 0$ для всех действительных $x$, то точек перегиба нет, и график функции всегда выпуклый вниз (вогнутый вверх).

Ответ: График функции симметричен относительно оси ординат и по форме напоминает параболу, но растет быстрее при больших значениях $|x|$. Он имеет единственную точку экстремума — глобальный минимум в начале координат $(0, 0)$. Функция убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$. График всегда выпуклый вниз. Ветви графика уходят в $+\infty$ при $x \to \pm\infty$.