Номер 329, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 329, страница 134.

Условие.

329. Найти асимптоты графика функции:

1) $f(x) = \frac{(x-1)^3}{x^2}$;

2) $f(x) = \frac{x^4}{x^3-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для функции $f(x) = \frac{(x-1)^3}{x^2}$

Поиск вертикальных асимптот

Вертикальные асимптоты могут существовать в точках разрыва функции. Данная функция является дробно-рациональной, поэтому точки разрыва — это нули знаменателя.

Приравняем знаменатель к нулю: $x^2 = 0 \implies x = 0$.

Найдем предел функции при $x$, стремящемся к 0, чтобы проверить, является ли прямая $x=0$ вертикальной асимптотой:

$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{(x-1)^3}{x^2}$

При $x \to 0$ числитель $(x-1)^3 \to (0-1)^3 = -1$.

Знаменатель $x^2 \to 0$, причем $x^2 > 0$ при $x \neq 0$.

Следовательно, $\lim_{x \to 0} \frac{(x-1)^3}{x^2} = \frac{-1}{+0} = -\infty$.

Так как предел в точке $x=0$ равен бесконечности, прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.

Поиск наклонных и горизонтальных асимптот

Наклонная асимптота имеет уравнение $y = kx + b$, где:

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ и $b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx)$.

Сначала найдем коэффициент $k$:

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x-1)^3}{x^2}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x-1)^3}{x^3} = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x-1}{x}\right)^3 = \lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^3 = (1-0)^3 = 1$.

Теперь найдем коэффициент $b$:

$b = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{(x-1)^3}{x^2} - 1 \cdot x\right) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}{x^2} - \frac{x^3}{x^2}\right)$

$b = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x^3}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3x^2 + 3x - 1}{x^2}$

Разделим числитель и знаменатель на старшую степень $x$, то есть на $x^2$:

$b = \lim_{x \to \infty} \frac{-3 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^2}}{1} = -3$.

Пределы при $x \to -\infty$ дадут те же самые значения для $k$ и $b$.

Таким образом, существует наклонная асимптота $y = 1 \cdot x - 3$, или $y = x - 3$.

Поскольку $k \neq 0$, горизонтальных асимптот у графика функции нет.

Ответ: вертикальная асимптота $x=0$, наклонная асимптота $y=x-3$.

2) Для функции $f(x) = \frac{x^4}{x^3-1}$

Поиск вертикальных асимптот

Найдем точки разрыва, приравняв знаменатель к нулю:

$x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$.

Найдем односторонние пределы функции при $x \to 1$:

При $x \to 1^+$ (справа), $x > 1$, поэтому $x^3 > 1$ и $x^3-1 > 0$.

$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^4}{x^3-1} = \frac{1^4}{+0} = +\infty$.

При $x \to 1^-$ (слева), $x < 1$, поэтому $x^3 < 1$ и $x^3-1 < 0$.

$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^4}{x^3-1} = \frac{1^4}{-0} = -\infty$.

Так как односторонние пределы равны бесконечности, прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.

Поиск наклонных и горизонтальных асимптот

Ищем асимптоту вида $y = kx + b$.

Найдем коэффициент $k$:

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^4}{x^3-1}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^4}{x(x^3-1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^4}{x^4-x}$

Разделим числитель и знаменатель на $x^4$:

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - \frac{1}{x^3}} = \frac{1}{1-0} = 1$.

Теперь найдем коэффициент $b$:

$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^4}{x^3-1} - 1 \cdot x\right) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^4 - x(x^3-1)}{x^3-1}\right)$

$b = \lim_{x \to \infty} \frac{x^4 - x^4 + x}{x^3-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^3-1}$

Разделим числитель и знаменатель на $x^3$:

$b = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^3}} = \frac{0}{1-0} = 0$.

Пределы при $x \to -\infty$ дадут те же самые значения для $k$ и $b$.

Таким образом, существует наклонная асимптота $y = 1 \cdot x + 0$, или $y = x$.

Поскольку $k \neq 0$, горизонтальных асимптот у графика функции нет.

Ответ: вертикальная асимптота $x=1$, наклонная асимптота $y=x$.