Номер 336, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 336, страница 135.

Условие.

336. Тело движется по закону $s(t)=6t^2-t^3$. Какова наибольшая скорость тела?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Закон движения тела задан функцией $s(t) = 6t^2 - t^3$, где $s$ — это расстояние, а $t$ — время ($t \ge 0$).

Скорость тела $v(t)$ является первой производной от функции расстояния $s(t)$ по времени $t$. Найдем функцию скорости:

$v(t) = s'(t) = (6t^2 - t^3)' = 6 \cdot 2t^{2-1} - 3t^{3-1} = 12t - 3t^2$.

Чтобы найти наибольшую скорость, необходимо найти максимум функции $v(t) = 12t - 3t^2$. Для этого мы найдем производную функции скорости (то есть ускорение $a(t)$), приравняем ее к нулю и найдем критические точки.

$a(t) = v'(t) = (12t - 3t^2)' = 12 - 3 \cdot 2t = 12 - 6t$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти момент времени, в который скорость достигает экстремума:

$12 - 6t = 0$

$6t = 12$

$t = 2$

Мы получили критическую точку $t=2$. Чтобы определить, является ли эта точка точкой максимума, можно использовать знак второй производной. Найдем вторую производную от функции скорости $v(t)$:

$v''(t) = a'(t) = (12 - 6t)' = -6$.

Поскольку вторая производная $v''(t) = -6 < 0$, в точке $t=2$ функция скорости $v(t)$ достигает своего максимума.

Теперь вычислим значение скорости в этот момент времени, подставив $t=2$ в уравнение для $v(t)$:

$v_{max} = v(2) = 12(2) - 3(2)^2 = 24 - 3 \cdot 4 = 24 - 12 = 12$.

Ответ: 12.