Номер 338, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе III - номер 338, страница 135.

Условие.

338. Найти точку касания графика функции и данной прямой,
если:

1) $y = 3x^2 + 2x - 5$, $y = 2x - 5$;

2) $y = 3x^2 - 2x + 5$, $y = 10x - 7$;

3) $y = x^3 - 5x + 8$, $y = 7x + 24$;

4) $y = x^3 - 5x^2 - 3x + 11$, $y = 10x + 18.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения точки касания графика функции $y = f(x)$ и прямой $y = kx + b$ необходимо, чтобы в этой точке $x_0$ выполнялись два условия:

1. Значения функции и прямой равны: $f(x_0) = kx_0 + b$.
2. Наклон касательной к графику функции, который равен значению производной $f'(x_0)$, равен наклону (угловому коэффициенту) прямой $k$: $f'(x_0) = k$.

Начнем с поиска $x_0$ из второго условия, а затем проверим первое.

1) Даны функции $y = 3x^2 + 2x - 5$ и $y = 2x - 5$.

Обозначим $f(x) = 3x^2 + 2x - 5$. Угловой коэффициент прямой $y = 2x - 5$ равен $k=2$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (3x^2 + 2x - 5)' = 6x + 2$.

Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$f'(x_0) = 2$

$6x_0 + 2 = 2$

$6x_0 = 0$

$x_0 = 0$

Теперь найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0$ в уравнение функции:

$y_0 = f(0) = 3(0)^2 + 2(0) - 5 = -5$.

Получили точку $(0, -5)$. Проверим, принадлежит ли эта точка данной прямой $y = 2x - 5$:

$y = 2(0) - 5 = -5$.

Условия касания выполняются. Точка касания $(0, -5)$.

Ответ: $(0, -5)$.

2) Даны функции $y = 3x^2 - 2x + 5$ и $y = 10x - 7$.

Обозначим $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$. Угловой коэффициент прямой $y = 10x - 7$ равен $k=10$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (3x^2 - 2x + 5)' = 6x - 2$.

Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой:

$f'(x_0) = 10$

$6x_0 - 2 = 10$

$6x_0 = 12$

$x_0 = 2$

Найдем ординату точки касания $y_0$:

$y_0 = f(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 5 = 3 \cdot 4 - 4 + 5 = 12 - 4 + 5 = 13$.

Получили точку $(2, 13)$. Проверим, принадлежит ли она данной прямой $y = 10x - 7$:

$y = 10(2) - 7 = 20 - 7 = 13$.

Условия касания выполняются. Точка касания $(2, 13)$.

Ответ: $(2, 13)$.

3) Даны функции $y = x^3 - 5x + 8$ и $y = 7x + 24$.

Обозначим $f(x) = x^3 - 5x + 8$. Угловой коэффициент прямой $y = 7x + 24$ равен $k=7$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 - 5x + 8)' = 3x^2 - 5$.

Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой:

$f'(x_0) = 7$

$3x_0^2 - 5 = 7$

$3x_0^2 = 12$

$x_0^2 = 4$

Отсюда получаем две возможные абсциссы: $x_0 = 2$ и $x_0 = -2$. Проверим каждую.

Случай 1: $x_0 = 2$.

Найдем ординату на графике функции: $y_0 = f(2) = 2^3 - 5(2) + 8 = 8 - 10 + 8 = 6$.

Проверим, лежит ли точка $(2, 6)$ на прямой $y = 7x + 24$: $y = 7(2) + 24 = 14 + 24 = 38$.

Так как $6 \neq 38$, эта точка не является точкой касания.

Случай 2: $x_0 = -2$.

Найдем ординату на графике функции: $y_0 = f(-2) = (-2)^3 - 5(-2) + 8 = -8 + 10 + 8 = 10$.

Проверим, лежит ли точка $(-2, 10)$ на прямой $y = 7x + 24$: $y = 7(-2) + 24 = -14 + 24 = 10$.

Условия касания выполняются. Точка касания $(-2, 10)$.

Ответ: $(-2, 10)$.

4) Даны функции $y = x^3 - 5x^2 - 3x + 11$ и $y = 10x + 18$.

Обозначим $f(x) = x^3 - 5x^2 - 3x + 11$. Угловой коэффициент прямой $y = 10x + 18$ равен $k=10$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 - 5x^2 - 3x + 11)' = 3x^2 - 10x - 3$.

Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой:

$f'(x_0) = 10$

$3x_0^2 - 10x_0 - 3 = 10$

$3x_0^2 - 10x_0 - 13 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4(3)(-13) = 100 + 156 = 256 = 16^2$.

Корни уравнения:

$x_{0,1} = \frac{-(-10) + 16}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 16}{6} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}$.

$x_{0,2} = \frac{-(-10) - 16}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 16}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.

Проверим каждую из найденных абсцисс.

Случай 1: $x_0 = \frac{13}{3}$.

Найдем ординату на графике функции: $y_0 = f(\frac{13}{3}) = (\frac{13}{3})^3 - 5(\frac{13}{3})^2 - 3(\frac{13}{3}) + 11 = \frac{2197}{27} - 5 \cdot \frac{169}{9} - 13 + 11 = \frac{2197 - 2535}{27} - 2 = \frac{-338}{27} - \frac{54}{27} = -\frac{392}{27}$.

Проверим, лежит ли точка $(\frac{13}{3}, -\frac{392}{27})$ на прямой $y = 10x + 18$: $y = 10(\frac{13}{3}) + 18 = \frac{130}{3} + \frac{54}{3} = \frac{184}{3}$.

Так как $-\frac{392}{27} \neq \frac{184}{3}$, эта точка не является точкой касания.

Случай 2: $x_0 = -1$.

Найдем ординату на графике функции: $y_0 = f(-1) = (-1)^3 - 5(-1)^2 - 3(-1) + 11 = -1 - 5 + 3 + 11 = 8$.

Проверим, лежит ли точка $(-1, 8)$ на прямой $y = 10x + 18$: $y = 10(-1) + 18 = -10 + 18 = 8$.

Условия касания выполняются. Точка касания $(-1, 8)$.

Ответ: $(-1, 8)$.