Номер 340, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 340, страница 135.

Условие.

340. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, сверху завершённого полукругом. Определить радиус полукруга, при котором площадь сечения будет наибольшей, если периметр сечения равен $p$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Обозначим радиус полукруга через $r$, а высоту прямоугольной части — через $h$. Тогда ширина прямоугольника, которая является основанием для полукруга, равна $2r$.

Фигура сечения представляет собой композицию из прямоугольника и полукруга. Периметр $p$ этой фигуры складывается из трех сторон прямоугольника (основания и двух боковых сторон) и длины дуги полукруга. Верхняя сторона прямоугольника является внутренним контуром и не входит в периметр.

Длина основания: $2r$.
Суммарная длина двух боковых сторон: $2h$.
Длина дуги полукруга (половина длины окружности): $\frac{1}{2}(2\pi r) = \pi r$.

Таким образом, формула для периметра $p$ имеет вид: $$ p = 2r + 2h + \pi r = (2+\pi)r + 2h $$

Из этого уравнения выразим высоту $h$ через $r$ и $p$, чтобы использовать ее в формуле площади: $$ 2h = p - (2+\pi)r $$ $$ h = \frac{p - (2+\pi)r}{2} $$

Площадь сечения $S$ является суммой площади прямоугольника ($S_{прям} = 2r \cdot h$) и площади полукруга ($S_{пол} = \frac{1}{2}\pi r^2$): $$ S = 2rh + \frac{1}{2}\pi r^2 $$

Теперь подставим выражение для $h$ в формулу площади, чтобы получить функцию $S(r)$, зависящую только от одной переменной $r$: $$ S(r) = 2r \left( \frac{p - (2+\pi)r}{2} \right) + \frac{1}{2}\pi r^2 $$ $$ S(r) = r(p - (2+\pi)r) + \frac{1}{2}\pi r^2 $$ $$ S(r) = pr - (2+\pi)r^2 + \frac{1}{2}\pi r^2 $$ $$ S(r) = pr - 2r^2 - \pi r^2 + \frac{1}{2}\pi r^2 $$ $$ S(r) = pr - 2r^2 - \frac{1}{2}\pi r^2 $$ $$ S(r) = pr - \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r^2 $$

Мы получили квадратичную функцию $S(r)$ относительно $r$. Коэффициент при $r^2$ является отрицательным ($- (2 + \frac{\pi}{2}) < 0$), следовательно, график этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Свое наибольшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

Чтобы найти значение $r$, при котором площадь $S$ максимальна, найдем производную функции $S(r)$ и приравняем ее к нулю: $$ S'(r) = \frac{d}{dr}\left(pr - \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r^2\right) = p - 2\left(2 + \frac{\pi}{2}\right)r $$ $$ S'(r) = p - (4+\pi)r $$

Приравниваем производную к нулю для нахождения критической точки: $$ p - (4+\pi)r = 0 $$ $$ (4+\pi)r = p $$ $$ r = \frac{p}{4+\pi} $$

Так как вторая производная $S''(r) = -(4+\pi)$ отрицательна, найденная точка является точкой максимума.

Ответ: радиус полукруга, при котором площадь сечения будет наибольшей, равен $r = \frac{p}{4+\pi}$.