Номер 344, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 344, страница 136.

Условие.

344. Найти наибольшую площадь полной поверхности цилиндра, вписанного в сферу радиуса $R$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть радиус вписанного в сферу цилиндра равен $r$, а его высота равна $h$. Радиус сферы задан и равен $R$.

Площадь полной поверхности цилиндра $S$ вычисляется по формуле:$S = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}} = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi(rh + r^2)$

Чтобы связать переменные $r$ и $h$ с радиусом сферы $R$, рассмотрим осевое сечение комбинации тел. Сечением сферы является окружность радиуса $R$, а сечением вписанного цилиндра — прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$. Вершины этого прямоугольника лежат на окружности. По теореме Пифагора для треугольника, образованного радиусом сферы, радиусом основания цилиндра и половиной высоты цилиндра, получаем соотношение:$r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2$

Для нахождения максимума функции $S(r, h)$ выразим $r$ и $h$ через одну переменную. Удобно использовать тригонометрическую замену. Пусть $\theta$ — угол между радиусом сферы $R$, проведенным к окружности основания цилиндра, и осью цилиндра. Тогда:$r = R \sin\theta$$\frac{h}{2} = R \cos\theta \implies h = 2R \cos\theta$

Для существования цилиндра угол $\theta$ должен находиться в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$.Подставим эти выражения в формулу площади поверхности:$S(\theta) = 2\pi ( (R \sin\theta)(2R \cos\theta) + (R \sin\theta)^2 )$$S(\theta) = 2\pi ( 2R^2 \sin\theta \cos\theta + R^2 \sin^2\theta )$Используя формулу двойного угла $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta $, получаем:$S(\theta) = 2\pi R^2 (\sin(2\theta) + \sin^2\theta)$

Для нахождения наибольшего значения площади найдем производную функции $S(\theta)$ по $\theta$ и приравняем ее к нулю:$S'(\theta) = \frac{d}{d\theta} \left( 2\pi R^2 (\sin(2\theta) + \sin^2\theta) \right) = 2\pi R^2 (2\cos(2\theta) + 2\sin\theta\cos\theta)$$S'(\theta) = 2\pi R^2 (2\cos(2\theta) + \sin(2\theta))$

Приравняем производную к нулю:$2\cos(2\theta) + \sin(2\theta) = 0$$\sin(2\theta) = -2\cos(2\theta)$$\tan(2\theta) = -2$

Поскольку $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$, то $2\theta \in (0, \pi)$. Условие $\tan(2\theta) = -2$ означает, что угол $2\theta$ находится во второй четверти.Найдем значения $\sin(2\theta)$ и $\cos(2\theta)$, не вычисляя сам угол. Из тождества $1 + \tan^2(2\theta) = \frac{1}{\cos^2(2\theta)}$:$1 + (-2)^2 = \frac{1}{\cos^2(2\theta)} \implies 5 = \frac{1}{\cos^2(2\theta)} \implies \cos^2(2\theta) = \frac{1}{5}$Так как $2\theta$ во второй четверти, $\cos(2\theta)$ отрицателен: $\cos(2\theta) = -\frac{1}{\sqrt{5}}$.Тогда $\sin(2\theta) = \tan(2\theta) \cos(2\theta) = (-2) \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

Нам также нужно найти $\sin^2\theta$. Используем формулу понижения степени:$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} = \frac{1 - (-\frac{1}{\sqrt{5}})}{2} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{5}}}{2} = \frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}$

Теперь подставим найденные значения в выражение для площади $S$:$S_{\text{max}} = 2\pi R^2 \left(\frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}\right)$$S_{\text{max}} = 2\pi R^2 \left(\frac{4 + \sqrt{5}+1}{2\sqrt{5}}\right)$$S_{\text{max}} = 2\pi R^2 \left(\frac{5+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\right)$$S_{\text{max}} = \pi R^2 \frac{5+\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \pi R^2 \left(\frac{5}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\right)$$S_{\text{max}} = \pi R^2 (\sqrt{5} + 1)$

Ответ: $S_{\text{max}} = \pi R^2(1+\sqrt{5})$.