Номер 346, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 346, страница 136.

Условие.

346. Построить график функции:

1) $f(x) = x + \sqrt{x^2 - 1}$;

2) $f(x) = x - \sqrt{x^2 - 2x}$;

3) $f(x) = x^2 \cdot e^{-x}$;

4) $f(x) = x^3 \cdot e^{-x}$;

5) $f(x) = \frac{(x-1)^3}{x^2}$;

6) $f(x) = \frac{x^4}{(x+1)^3}$;

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $f(x) = x + \sqrt{x^2 - 1}$

1. Область определения:
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - 1 \ge 0$.
$(x-1)(x+1) \ge 0$, что выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
$D(f) = (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат:
- С осью Oy: пересечений нет, так как $x=0$ не входит в область определения.
- С осью Ox: $f(x) = 0 \implies x + \sqrt{x^2 - 1} = 0 \implies \sqrt{x^2 - 1} = -x$.
Это уравнение имеет смысл только при $-x \ge 0$, то есть $x \le 0$. Учитывая область определения, $x \le -1$.
Возводим в квадрат: $x^2 - 1 = (-x)^2 = x^2 \implies -1 = 0$. Решений нет. Пересечений с осью Ox нет.

3. Асимптоты:
- Вертикальных асимптот нет.
- Наклонные (и горизонтальные) асимптоты:
При $x \to -\infty$:
$\lim_{x \to -\infty} (x + \sqrt{x^2 - 1}) = \lim_{x \to -\infty} \frac{(x + \sqrt{x^2 - 1})(x - \sqrt{x^2 - 1})}{x - \sqrt{x^2 - 1}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - (x^2 - 1)}{x - \sqrt{x^2 - 1}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x - \sqrt{x^2 - 1}} = 0$.
Следовательно, $y=0$ — горизонтальная асимптота при $x \to -\infty$.
При $x \to +\infty$:
$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + \sqrt{x^2 - 1}}{x} = \lim_{x \to +\infty} (1 + \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}) = 1+1=2$.
$b = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - 2x) = \lim_{x \to +\infty} (x + \sqrt{x^2 - 1} - 2x) = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 - 1} - x)$.
$b = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2 - 1} - x)(\sqrt{x^2 - 1} + x)}{\sqrt{x^2 - 1} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 1 - x^2}{\sqrt{x^2 - 1} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-1}{\sqrt{x^2 - 1} + x} = 0$.
Следовательно, $y=2x$ — наклонная асимптота при $x \to +\infty$.

4. Производная и экстремумы:
$f'(x) = 1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 1}} = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1} + x}{\sqrt{x^2 - 1}}$.
- При $x \in [1, \infty)$, $x>0$, поэтому $f'(x) > 0$. Функция возрастает.
- При $x \in (-\infty, -1]$, $\sqrt{x^2 - 1} < \sqrt{x^2} = |x| = -x$. Значит, $\sqrt{x^2-1} + x < 0$, и $f'(x) < 0$. Функция убывает.
На границах области определения имеем точки экстремума:
- $f(-1) = -1 + \sqrt{(-1)^2-1} = -1$. Точка $(-1, -1)$ — локальный максимум.
- $f(1) = 1 + \sqrt{1^2-1} = 1$. Точка $(1, 1)$ — локальный минимум.

5. Вторая производная и выпуклость:
$f''(x) = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2-1} - x \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1} = \frac{x^2-1-x^2}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}} = \frac{-1}{(x^2 - 1)^{3/2}}$.
Так как $(x^2 - 1)^{3/2} > 0$ в области определения, $f''(x) < 0$. График функции всюду вогнут (выпуклый вверх).

Ответ: График функции состоит из двух ветвей. Левая ветвь начинается от асимптоты $y=0$ при $x \to -\infty$, убывает до точки локального максимума $(-1, -1)$. Правая ветвь начинается в точке локального минимума $(1, 1)$ и возрастает, приближаясь к наклонной асимптоте $y=2x$ при $x \to +\infty$. Обе ветви вогнуты.

2) $f(x) = x - \sqrt{x^2 - 2x}$

1. Область определения:
$x^2 - 2x \ge 0 \implies x(x-2) \ge 0$.
$D(f) = (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат:
- С осью Oy: $f(0) = 0 - \sqrt{0} = 0$. Точка $(0, 0)$.
- С осью Ox: $f(x) = 0 \implies x = \sqrt{x^2 - 2x}$.
Требуется $x \ge 0$. С учетом области определения, это $x=0$ или $x \ge 2$.
Возводим в квадрат: $x^2 = x^2 - 2x \implies 2x=0 \implies x=0$.
Единственная точка пересечения — $(0, 0)$.

3. Асимптоты:
- Вертикальных асимптот нет.
- При $x \to +\infty$:
$\lim_{x \to +\infty} (x - \sqrt{x^2 - 2x}) = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x - \sqrt{x^2 - 2x})(x + \sqrt{x^2 - 2x})}{x + \sqrt{x^2 - 2x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - (x^2 - 2x)}{x + \sqrt{x^2 - 2x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x + x\sqrt{1-2/x}} = \frac{2}{1+1} = 1$.
$y=1$ — горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$.
- При $x \to -\infty$:
$k = \lim_{x \to -\infty} \frac{x - \sqrt{x^2 - 2x}}{x} = \lim_{x \to -\infty} (1 - \frac{\sqrt{x^2(1-2/x)}}{x}) = \lim_{x \to -\infty} (1 - \frac{-x\sqrt{1-2/x}}{x}) = 1+1=2$.
$b = \lim_{x \to -\infty} (f(x) - 2x) = \lim_{x \to -\infty} (x - \sqrt{x^2 - 2x} - 2x) = \lim_{x \to -\infty} (-x - \sqrt{x^2 - 2x})$.
$b = \lim_{x \to -\infty} \frac{(-x - \sqrt{x^2 - 2x})(-x + \sqrt{x^2 - 2x})}{-x + \sqrt{x^2 - 2x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - (x^2 - 2x)}{-x + \sqrt{x^2 - 2x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{-x -x\sqrt{1-2/x}} = \frac{2}{-1-1} = -1$.
$y=2x-1$ — наклонная асимптота при $x \to -\infty$.

4. Производная и экстремумы:
$f'(x) = 1 - \frac{2x-2}{2\sqrt{x^2-2x}} = 1 - \frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}$.
$f'(x) = 0 \implies \sqrt{x^2-2x} = x-1$. Требуется $x \ge 1$. С учетом области определения, $x \ge 2$.
$x^2-2x = (x-1)^2 = x^2-2x+1 \implies 0=1$. Решений нет. Критических точек нет.
- При $x \in (-\infty, 0)$, $x-1 < 0$, поэтому $f'(x) > 1 > 0$. Функция возрастает.
- При $x \in (2, \infty)$, $x-1 > 0$. $(x-1)^2 = x^2-2x+1 > x^2-2x \implies x-1 > \sqrt{x^2-2x}$. Значит $\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}} > 1$, и $f'(x) < 0$. Функция убывает.
Экстремумы в граничных точках:
- $f(0)=0$ — локальный максимум.
- $f(2) = 2 - \sqrt{4-4} = 2$ — локальный минимум.

5. Вторая производная и выпуклость:
$f''(x) = - \frac{1 \cdot \sqrt{x^2-2x} - (x-1) \frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}}{x^2-2x} = - \frac{x^2-2x - (x-1)^2}{(x^2-2x)^{3/2}} = - \frac{-1}{(x^2-2x)^{3/2}} = \frac{1}{(x^2 - 2x)^{3/2}}$.
$f''(x) > 0$ для всех $x$ из области определения производной. График всюду выпуклый вниз (вогнутый).

Ответ: График состоит из двух ветвей. Левая ветвь приближается снизу к асимптоте $y=2x-1$ при $x \to -\infty$, возрастает до точки локального максимума $(0, 0)$. Правая ветвь начинается в точке локального минимума $(2, 2)$ и убывает, приближаясь сверху к горизонтальной асимптоте $y=1$ при $x \to +\infty$. Обе ветви выпуклы вниз.

3) $f(x) = x^2 e^{-x}$

1. Область определения: $D(f) = (-\infty, \infty)$.

2. Точки пересечения с осями: $f(x)=0 \iff x=0$. График проходит через начало координат $(0, 0)$.

3. Асимптоты:
- Вертикальных асимптот нет.
- При $x \to +\infty$: $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = 0$ (по правилу Лопиталя). $y=0$ — горизонтальная асимптота.
- При $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} x^2 e^{-x} = +\infty$. Наклонной асимптоты нет, так как $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} x e^{-x} = -\infty$.

4. Производная и экстремумы:
$f'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = x(2-x)e^{-x}$.
Критические точки: $f'(x)=0 \implies x=0, x=2$.
- На $(-\infty, 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На $(0, 2)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- На $(2, \infty)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
Точка $x=0$ — точка локального минимума, $f(0)=0$.
Точка $x=2$ — точка локального максимума, $f(2) = 4e^{-2} \approx 0.54$.

5. Вторая производная и точки перегиба:
$f''(x) = (2-2x)e^{-x} - (2x-x^2)e^{-x} = (x^2-4x+2)e^{-x}$.
Точки перегиба: $f''(x)=0 \implies x^2-4x+2=0 \implies x = 2 \pm \sqrt{2}$.
- На $(-\infty, 2-\sqrt{2})$: $f''(x)>0$, график выпуклый вниз.
- На $(2-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2})$: $f''(x)<0$, график выпуклый вверх.
- На $(2+\sqrt{2}, \infty)$: $f''(x)>0$, график выпуклый вниз.

Ответ: График начинается в левом верхнем углу, убывает до точки локального минимума $(0,0)$, которая также является началом координат. Затем функция возрастает до точки локального максимума $(2, 4e^{-2})$. После этого она убывает, асимптотически приближаясь к оси Ox ($y=0$) при $x \to +\infty$. Точки перегиба находятся при $x = 2 \pm \sqrt{2}$.

4) $f(x) = x^3 e^{-x}$

1. Область определения: $D(f) = (-\infty, \infty)$.

2. Точки пересечения с осями: $f(x)=0 \iff x=0$. График проходит через начало координат $(0, 0)$.

3. Асимптоты:
- Вертикальных асимптот нет.
- При $x \to +\infty$: $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{e^x} = 0$ (по правилу Лопиталя). $y=0$ — горизонтальная асимптота.
- При $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} x^3 e^{-x} = -\infty$. Наклонной асимптоты нет.

4. Производная и экстремумы:
$f'(x) = 3x^2 e^{-x} - x^3 e^{-x} = x^2(3-x)e^{-x}$.
Критические точки: $f'(x)=0 \implies x=0, x=3$.
- На $(-\infty, 3)$: $f'(x) > 0$ (кроме $x=0$), функция возрастает.
- На $(3, \infty)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
В точке $x=0$ производная равна нулю, но знак не меняется, это точка перегиба с горизонтальной касательной.
Точка $x=3$ — точка локального максимума, $f(3) = 27e^{-3} \approx 1.34$.

5. Вторая производная и точки перегиба:
$f''(x) = (6x-3x^2)e^{-x} - (3x^2-x^3)e^{-x} = (x^3-6x^2+6x)e^{-x} = x(x^2-6x+6)e^{-x}$.
Точки перегиба: $f''(x)=0 \implies x=0$ или $x^2-6x+6=0 \implies x = 3 \pm \sqrt{3}$.
- На $(-\infty, 0)$: $f''(x)<0$, график выпуклый вверх.
- На $(0, 3-\sqrt{3})$: $f''(x)>0$, график выпуклый вниз.
- На $(3-\sqrt{3}, 3+\sqrt{3})$: $f''(x)<0$, график выпуклый вверх.
- На $(3+\sqrt{3}, \infty)$: $f''(x)>0$, график выпуклый вниз.

Ответ: График начинается в левом нижнем углу, возрастает, проходит через точку перегиба с горизонтальной касательной в начале координат $(0,0)$. Далее продолжает возрастать до точки локального максимума $(3, 27e^{-3})$. Затем функция убывает, асимптотически приближаясь к оси Ox ($y=0$) при $x \to +\infty$. Точки перегиба: $x=0$, $x=3-\sqrt{3}$, $x=3+\sqrt{3}$.

5) $f(x) = \frac{(x-1)^3}{x^2}$

1. Область определения: $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

2. Точки пересечения с осями:
- С осью Oy: нет ($x \neq 0$).
- С осью Ox: $f(x)=0 \implies (x-1)^3 = 0 \implies x=1$. Точка $(1, 0)$.

3. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x=0$. $\lim_{x \to 0} \frac{(x-1)^3}{x^2} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$.
- Наклонная асимптота: $f(x) = \frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}{x^2} = x - 3 + \frac{3x-1}{x^2}$.
Асимптота $y = x-3$.

4. Производная и экстремумы:
$f'(x) = \frac{3(x-1)^2 x^2 - (x-1)^3 2x}{x^4} = \frac{(x-1)^2(3x - 2(x-1))}{x^3} = \frac{(x-1)^2(x+2)}{x^3}$.
Критические точки: $f'(x)=0 \implies x=1, x=-2$.
- На $(-\infty, -2)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
- На $(-2, 0)$: $f'(x) < 0$, убывает.
- На $(0, \infty)$: $f'(x) > 0$ (кроме $x=1$), возрастает.
Точка $x=-2$ — локальный максимум, $f(-2) = \frac{(-3)^3}{4} = -6.75$.
Точка $x=1$ — не экстремум, а точка перегиба.

5. Вторая производная и точки перегиба:
$f'(x) = \frac{x^3-3x+2}{x^3} = 1 - 3x^{-2} + 2x^{-3}$.
$f''(x) = 6x^{-3} - 6x^{-4} = \frac{6x-6}{x^4} = \frac{6(x-1)}{x^4}$.
$f''(x)=0 \implies x=1$.
- На $(-\infty, 0) \cup (0, 1)$: $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.
- На $(1, \infty)$: $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.
Точка $x=1$ — точка перегиба, $f(1)=0$.

Ответ: График имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и наклонную асимптоту $y=x-3$. Левая ветвь (при $x<0$) приближается к асимптоте $y=x-3$ снизу, возрастает до точки локального максимума $(-2, -27/4)$, а затем убывает до $-\infty$ вдоль асимптоты $x=0$. Правая ветвь (при $x>0$) начинается от $-\infty$ вдоль асимптоты $x=0$, возрастает, проходит через точку перегиба $(1,0)$ (пересечение с осью Ox) и далее приближается к асимптоте $y=x-3$ сверху.

6) $f(x) = \frac{x^4}{(x+1)^3}$

1. Область определения: $x \neq -1$. $D(f) = (-\infty, -1) \cup (-1, \infty)$.

2. Точки пересечения с осями: $f(x)=0 \iff x=0$. График проходит через начало координат $(0, 0)$.

3. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x=-1$.
$\lim_{x \to -1^+} \frac{x^4}{(x+1)^3} = +\infty$.
$\lim_{x \to -1^-} \frac{x^4}{(x+1)^3} = -\infty$.
- Наклонная асимптота: $f(x) = \frac{x^4}{x^3+3x^2+3x+1} = x - 3 + \frac{6x^2+8x+3}{(x+1)^3}$.
Асимптота $y=x-3$.

4. Производная и экстремумы:
$f'(x) = \frac{4x^3(x+1)^3 - x^4 \cdot 3(x+1)^2}{(x+1)^6} = \frac{x^3(x+1)^2(4(x+1)-3x)}{(x+1)^6} = \frac{x^3(x+4)}{(x+1)^4}$.
Критические точки: $f'(x)=0 \implies x=0, x=-4$.
- На $(-\infty, -4)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
- На $(-4, -1) \cup (-1, 0)$: $f'(x) < 0$, убывает.
- На $(0, \infty)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
Точка $x=-4$ — локальный максимум, $f(-4) = \frac{256}{(-3)^3} = -\frac{256}{27} \approx -9.48$.
Точка $x=0$ — локальный минимум, $f(0)=0$.

5. Вторая производная и точки перегиба:
$f'(x) = \frac{x^4+4x^3}{(x+1)^4}$.
$f''(x) = \frac{(4x^3+12x^2)(x+1)^4 - (x^4+4x^3)4(x+1)^3}{(x+1)^8} = \frac{4x^2(x+3)(x+1) - 4x^3(x+4)}{(x+1)^5} = \frac{12x^2}{(x+1)^5}$.
$f''(x)=0 \implies x=0$. Но знак $f''$ зависит от $(x+1)^5$ и не меняется в точке $x=0$.
- На $(-\infty, -1)$: $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.
- На $(-1, \infty)$: $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.
Точек перегиба нет.

Ответ: График имеет вертикальную асимптоту $x=-1$ и наклонную асимптоту $y=x-3$. Левая ветвь (при $x<-1$) приближается к асимптоте $y=x-3$ снизу, возрастает до точки локального максимума $(-4, -256/27)$, а затем убывает до $-\infty$ вдоль асимптоты $x=-1$. Правая ветвь (при $x>-1$) начинается от $+\infty$ вдоль асимптоты $x=-1$, убывает до точки локального минимума в начале координат $(0,0)$, а затем возрастает, приближаясь к асимптоте $y=x-3$ сверху.