Номер 334, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Упражнения к главе III - номер 334, страница 135.

Условие.

334. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $f(x) = 2\sin x + \sin 2x$ на отрезке $[0; \frac{3}{2}\pi];$

2) $f(x) = 2\cos x + \sin 2x$ на отрезке $[0; \pi];$

3) $f(x) = 3\sin x + 4\cos 2x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}];$

4) $f(x) = \sin x + 2\sqrt{2} \cos x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) f(x) = 2sin x + sin 2x на отрезке [0; $\frac{3}{2}\pi$]

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, найдем ее производную, приравняем к нулю, чтобы найти критические точки, а затем сравним значения функции в этих точках и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (2\sin x + \sin 2x)' = 2\cos x + 2\cos 2x$.

2. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:
$2\cos x + 2\cos 2x = 0$
$\cos x + \cos 2x = 0$
Используем формулу двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:
$\cos x + 2\cos^2 x - 1 = 0$
$2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \cos x$, где $t \in [-1, 1]$:
$2t^2 + t - 1 = 0$
Решаем квадратное уравнение:
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$
$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 - 3}{4} = -1$

3. Вернемся к переменной $x$:
а) $\cos x = \frac{1}{2}$. На отрезке $[0; \frac{3\pi}{2}]$ этому уравнению удовлетворяет корень $x = \frac{\pi}{3}$.
б) $\cos x = -1$. На отрезке $[0; \frac{3\pi}{2}]$ этому уравнению удовлетворяет корень $x = \pi$.

4. Вычислим значения функции в критических точках $x = \frac{\pi}{3}$, $x = \pi$ и на концах отрезка $x = 0$ и $x = \frac{3\pi}{2}$:
$f(0) = 2\sin(0) + \sin(0) = 0$
$f(\frac{\pi}{3}) = 2\sin(\frac{\pi}{3}) + \sin(\frac{2\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
$f(\pi) = 2\sin(\pi) + \sin(2\pi) = 2 \cdot 0 + 0 = 0$
$f(\frac{3\pi}{2}) = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) + \sin(3\pi) = 2 \cdot (-1) + 0 = -2$

5. Сравниваем полученные значения: $0$, $\frac{3\sqrt{3}}{2}$, $0$, $-2$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = -2$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $\frac{3\sqrt{3}}{2}$, наименьшее значение равно -2.

2) f(x) = 2cos x + sin 2x на отрезке [0; $\pi$]

1. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (2\cos x + \sin 2x)' = -2\sin x + 2\cos 2x$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$-2\sin x + 2\cos 2x = 0$
$\cos 2x - \sin x = 0$
Используем формулу двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:
$1 - 2\sin^2 x - \sin x = 0$
$2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \sin x$, где для $x \in [0, \pi]$, $t \in [0, 1]$:
$2t^2 + t - 1 = 0$
Корни этого уравнения $t_1 = \frac{1}{2}$ и $t_2 = -1$. Корень $t_2 = -1$ не входит в область значений $t \in [0, 1]$.

3. Вернемся к переменной $x$:
$\sin x = \frac{1}{2}$. На отрезке $[0; \pi]$ этому уравнению удовлетворяют корни $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$.

4. Вычислим значения функции в критических точках $x = \frac{\pi}{6}$, $x = \frac{5\pi}{6}$ и на концах отрезка $x = 0$ и $x = \pi$:
$f(0) = 2\cos(0) + \sin(0) = 2 \cdot 1 + 0 = 2$
$f(\frac{\pi}{6}) = 2\cos(\frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
$f(\frac{5\pi}{6}) = 2\cos(\frac{5\pi}{6}) + \sin(\frac{5\pi}{3}) = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$
$f(\pi) = 2\cos(\pi) + \sin(2\pi) = 2 \cdot (-1) + 0 = -2$

5. Сравниваем полученные значения: $2$, $\frac{3\sqrt{3}}{2}$, $-\frac{3\sqrt{3}}{2}$, $-2$.
Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.598$ и $-\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx -2.598$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $\frac{3\sqrt{3}}{2}$, наименьшее значение равно $-\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

3) f(x) = 3sin x + 4cos 2x на отрезке [0; $\frac{\pi}{2}$]

1. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (3\sin x + 4\cos 2x)' = 3\cos x - 4\sin(2x) \cdot 2 = 3\cos x - 8\sin 2x$.

2. Найдем критические точки:
$3\cos x - 8\sin 2x = 0$
Используем формулу двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$3\cos x - 8(2\sin x \cos x) = 0$
$3\cos x - 16\sin x \cos x = 0$
$\cos x (3 - 16\sin x) = 0$

3. Решаем полученные уравнения:
а) $\cos x = 0$. На отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ корень $x = \frac{\pi}{2}$, что является концом отрезка.
б) $3 - 16\sin x = 0 \implies \sin x = \frac{3}{16}$. Так как $0 < \frac{3}{16} < 1$, существует корень $x_0 = \arcsin(\frac{3}{16})$, который принадлежит интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x_0 = \arcsin(\frac{3}{16})$ и на концах отрезка $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{2}$:
$f(0) = 3\sin(0) + 4\cos(0) = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 1 = 4$
$f(\frac{\pi}{2}) = 3\sin(\frac{\pi}{2}) + 4\cos(\pi) = 3 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) = 3 - 4 = -1$
Для точки $x_0 = \arcsin(\frac{3}{16})$ имеем $\sin(x_0) = \frac{3}{16}$. Найдем $\cos(2x_0)$ через синус: $\cos(2x_0) = 1 - 2\sin^2(x_0) = 1 - 2(\frac{3}{16})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{9}{256} = 1 - \frac{18}{256} = 1 - \frac{9}{128} = \frac{119}{128}$.
$f(x_0) = 3\sin(x_0) + 4\cos(2x_0) = 3 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot \frac{119}{128} = \frac{9}{16} + \frac{119}{32} = \frac{18}{32} + \frac{119}{32} = \frac{137}{32}$.

5. Сравниваем полученные значения: $4$, $-1$, $\frac{137}{32}$.
$\frac{137}{32} = 4 \frac{9}{32} = 4.28125$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = \frac{137}{32}$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = -1$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $\frac{137}{32}$, наименьшее значение равно -1.

4) f(x) = sin x + 2$\sqrt{2}$ cos x на отрезке [0; $\frac{\pi}{2}$]

1. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sin x + 2\sqrt{2} \cos x)' = \cos x - 2\sqrt{2} \sin x$.

2. Найдем критические точки:
$\cos x - 2\sqrt{2} \sin x = 0$
$\cos x = 2\sqrt{2} \sin x$
На отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ значение $\cos x = 0$ только при $x=\frac{\pi}{2}$, но тогда $\sin x = 1$ и равенство не выполняется. Поэтому можно разделить обе части на $\cos x$:
$1 = 2\sqrt{2} \tan x \implies \tan x = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

3. Критическая точка $x_0 = \arctan(\frac{\sqrt{2}}{4})$ принадлежит интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$, так как $\frac{\sqrt{2}}{4} > 0$.

4. Вычислим значения функции на концах отрезка $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{2}$ и в критической точке $x_0$.
$f(0) = \sin(0) + 2\sqrt{2}\cos(0) = 0 + 2\sqrt{2} \cdot 1 = 2\sqrt{2}$
$f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) + 2\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{2}) = 1 + 2\sqrt{2} \cdot 0 = 1$
Для точки $x_0 = \arctan(\frac{\sqrt{2}}{4})$ найдем $\sin(x_0)$ и $\cos(x_0)$. Из $\tan(x_0) = \frac{\sqrt{2}}{4}$ и $1 + \tan^2(x_0) = \frac{1}{\cos^2(x_0)}$ имеем:
$\cos^2(x_0) = \frac{1}{1 + (\frac{\sqrt{2}}{4})^2} = \frac{1}{1 + \frac{2}{16}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{8}} = \frac{1}{\frac{9}{8}} = \frac{8}{9}$. Так как $x_0 \in (0; \frac{\pi}{2})$, $\cos(x_0) = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
$\sin(x_0) = \tan(x_0)\cos(x_0) = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
$f(x_0) = \sin(x_0) + 2\sqrt{2}\cos(x_0) = \frac{1}{3} + 2\sqrt{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} = \frac{9}{3} = 3$.

5. Сравниваем полученные значения: $2\sqrt{2}$, $1$, $3$.
$2\sqrt{2} \approx 2 \cdot 1.414 = 2.828$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = 3$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = 1$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 3, наименьшее значение равно 1.