Номер 331, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 331, страница 134.

Условие.

331. Доказать, что функция $y=x(1+2\sqrt{x})$ возрастает на всей области определения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы доказать, что функция возрастает на всей своей области определения, мы сначала найдем эту область, а затем вычислим производную функции и проанализируем её знак.

1. Нахождение области определения функции

Данная функция $y = x(1 + 2\sqrt{x})$. В её записи присутствует квадратный корень $\sqrt{x}$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$.Таким образом, область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.

2. Вычисление производной

Для удобства дифференцирования сначала раскроем скобки в выражении функции:$y = x \cdot 1 + x \cdot 2\sqrt{x} = x + 2x \cdot x^{1/2} = x + 2x^{3/2}$.

Теперь найдем производную $y'(x)$, используя правила дифференцирования (производная суммы и производная степенной функции):$y' = (x + 2x^{3/2})' = (x)' + (2x^{3/2})' = 1 + 2 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = 1 + 3x^{1/2} = 1 + 3\sqrt{x}$.

3. Анализ знака производной

Функция возрастает на промежутке, если её производная на этом промежутке неотрицательна (и не равна нулю тождественно). Проанализируем знак производной $y' = 1 + 3\sqrt{x}$ на области определения $[0, +\infty)$.

Для любого $x$ из области определения ($x \ge 0$), значение квадратного корня $\sqrt{x}$ также неотрицательно: $\sqrt{x} \ge 0$.Следовательно, выражение $3\sqrt{x}$ также будет неотрицательным: $3\sqrt{x} \ge 0$.Прибавив 1 к обеим частям этого неравенства, получим:$y' = 1 + 3\sqrt{x} \ge 1 + 0 = 1$.

Поскольку производная функции $y'(x) \ge 1$, то есть она строго положительна для всех значений $x$ из области определения, функция $y = x(1 + 2\sqrt{x})$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[0, +\infty)$.Что и требовалось доказать.

Ответ: Производная функции $y' = 1 + 3\sqrt{x}$ положительна на всей области определения $x \in [0, +\infty)$, следовательно, функция является возрастающей на всей области определения.