Номер 312, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 4. Производная второго порядка, выпуклость и точка перегиба. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 312, страница 133.

Условие.

Построить график функции (312–317).

312. 1) $y = 2 + 5x^3 - 3x^5;$

2) $y = 3x^5 - 5x^3;$

3) $y = 4x^5 - 5x^4;$

4) $y = (x-1)^3(x+1)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = 2 + 5x^3 - 3x^5$

Для построения графика функции проведем ее полное исследование.

1. Область определения, четность.
Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Проверим функцию на четность: $y(-x) = 2 + 5(-x)^3 - 3(-x)^5 = 2 - 5x^3 + 3x^5$.
Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: при $x=0$ имеем $y(0) = 2$. Точка пересечения — $(0, 2)$.
С осью Ox: при $y=0$ получаем уравнение $2 + 5x^3 - 3x^5 = 0$. Точное аналитическое решение затруднительно. Один корень найдем из анализа производной.

3. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную: $y' = (2 + 5x^3 - 3x^5)' = 15x^2 - 15x^4$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $15x^2 - 15x^4 = 0 \Rightarrow 15x^2(1 - x^2) = 0 \Rightarrow 15x^2(1-x)(1+x) = 0$.
Критические точки: $x = -1$, $x = 0$, $x = 1$.
Определим знаки производной на интервалах:
- на $(-\infty, -1)$ $y' < 0$, функция убывает;
- на $(-1, 1)$ $y' > 0$, функция возрастает (включая точку $x=0$);
- на $(1, +\infty)$ $y' < 0$, функция убывает.
В точке $x=-1$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка локального минимума. $y(-1) = 2 + 5(-1)^3 - 3(-1)^5 = 2 - 5 + 3 = 0$. Точка минимума $(-1, 0)$. Это также точка пересечения с осью Ox.
В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка локального максимума. $y(1) = 2 + 5(1)^3 - 3(1)^5 = 2 + 5 - 3 = 4$. Точка максимума $(1, 4)$.
В точке $x=0$ знак производной не меняется, экстремума нет.

4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Найдем вторую производную: $y'' = (15x^2 - 15x^4)' = 30x - 60x^3 = 30x(1 - 2x^2)$.
Найдем точки, где $y''=0$: $x=0$, $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Определим знаки второй производной:
- на $(-\infty, -1/\sqrt{2})$ $y'' > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз);
- на $(-1/\sqrt{2}, 0)$ $y'' < 0$, график выпуклый (выпуклый вверх);
- на $(0, 1/\sqrt{2})$ $y'' > 0$, график вогнутый;
- на $(1/\sqrt{2}, +\infty)$ $y'' < 0$, график выпуклый.
Точки $x=0, x=\pm 1/\sqrt{2}$ являются точками перегиба. Найдем их координаты: $y(0)=2$, $y(-1/\sqrt{2}) = 2 - \frac{7\sqrt{2}}{8} \approx 0.76$, $y(1/\sqrt{2}) = 2 + \frac{7\sqrt{2}}{8} \approx 3.24$.

5. Поведение на бесконечности.
$\lim_{x \to +\infty} (2 + 5x^3 - 3x^5) = -\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} (2 + 5x^3 - 3x^5) = +\infty$.
Асимптот нет.

Ответ: Для построения графика используются следующие ключевые характеристики:
- Точки пересечения с осями: $(0, 2)$ и $(-1, 0)$. Также есть корень $x \approx 1.4$.
- Локальный минимум в точке $(-1, 0)$.
- Локальный максимум в точке $(1, 4)$.
- Точки перегиба: $(-1/\sqrt{2}, 2 - 7\sqrt{2}/8) \approx (-0.71, 0.76)$, $(0, 2)$ и $(1/\sqrt{2}, 2 + 7\sqrt{2}/8) \approx (0.71, 3.24)$.
- Функция возрастает на $(-1, 1)$ и убывает на $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.
- Пределы на бесконечности: $\lim_{x \to -\infty} y = +\infty$, $\lim_{x \to +\infty} y = -\infty$.

---

2) $y = 3x^5 - 5x^3$

1. Область определения, четность.
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Проверка на четность: $y(-x) = 3(-x)^5 - 5(-x)^3 = -3x^5 + 5x^3 = -(3x^5 - 5x^3) = -y(x)$.
Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

2. Точки пересечения с осями координат.
При $x=0$, $y=0$. График проходит через начало координат $(0, 0)$.
При $y=0$, $3x^5 - 5x^3 = 0 \Rightarrow x^3(3x^2 - 5) = 0$.
Корни: $x=0$, $x=\pm\sqrt{5/3} \approx \pm 1.29$. Точки пересечения: $(0, 0)$, $(\sqrt{5/3}, 0)$, $(-\sqrt{5/3}, 0)$.

3. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Первая производная: $y' = 15x^4 - 15x^2 = 15x^2(x^2 - 1) = 15x^2(x-1)(x+1)$.
Критические точки ($y'=0$): $x=-1, x=0, x=1$.
Знаки производной:
- на $(-\infty, -1)$ $y' > 0$, функция возрастает;
- на $(-1, 1)$ $y' < 0$, функция убывает;
- на $(1, +\infty)$ $y' > 0$, функция возрастает.
В точке $x=-1$ — локальный максимум. $y(-1) = 3(-1)^5 - 5(-1)^3 = -3 + 5 = 2$. Точка $(-1, 2)$.
В точке $x=1$ — локальный минимум. $y(1) = 3(1)^5 - 5(1)^3 = 3 - 5 = -2$. Точка $(1, -2)$.
В точке $x=0$ экстремума нет.

4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Вторая производная: $y'' = 60x^3 - 30x = 30x(2x^2 - 1)$.
Точки, где $y''=0$: $x=0, x = \pm 1/\sqrt{2}$.
Знаки второй производной:
- на $(-\infty, -1/\sqrt{2})$ $y'' < 0$, график выпуклый;
- на $(-1/\sqrt{2}, 0)$ $y'' > 0$, график вогнутый;
- на $(0, 1/\sqrt{2})$ $y'' < 0$, график выпуклый;
- на $(1/\sqrt{2}, +\infty)$ $y'' > 0$, график вогнутый.
Точки перегиба: $x=0$ (точка $(0,0)$), $x = -1/\sqrt{2}$ ($y(-1/\sqrt{2}) = 7\sqrt{2}/8 \approx 1.24$), $x = 1/\sqrt{2}$ ($y(1/\sqrt{2}) = -7\sqrt{2}/8 \approx -1.24$).

5. Поведение на бесконечности.
$\lim_{x \to +\infty} y = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} y = -\infty$.

Ответ: Для построения графика используются следующие ключевые характеристики:
- Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.
- Точки пересечения с осями: $(0, 0)$, $(\sqrt{5/3}, 0) \approx (1.29, 0)$, $(-\sqrt{5/3}, 0) \approx (-1.29, 0)$.
- Локальный максимум: $(-1, 2)$.
- Локальный минимум: $(1, -2)$.
- Точки перегиба: $(0, 0)$, $(-1/\sqrt{2}, 7\sqrt{2}/8) \approx (-0.71, 1.24)$ и $(1/\sqrt{2}, -7\sqrt{2}/8) \approx (0.71, -1.24)$.
- Функция возрастает на $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ и убывает на $(-1, 1)$.

---

3) $y = 4x^5 - 5x^4$

1. Область определения, четность.
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Проверка на четность: $y(-x) = 4(-x)^5 - 5(-x)^4 = -4x^5 - 5x^4$. Функция общего вида.

2. Точки пересечения с осями координат.
$y = x^4(4x - 5)$.
При $x=0$, $y=0$. Точка пересечения $(0, 0)$.
При $y=0$, $x^4(4x - 5)=0$. Корни: $x=0$ (кратность 4) и $x=5/4 = 1.25$.
Точки пересечения: $(0, 0)$ и $(1.25, 0)$. В точке $(0,0)$ график касается оси Ox.

3. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Первая производная: $y' = 20x^4 - 20x^3 = 20x^3(x - 1)$.
Критические точки ($y'=0$): $x=0, x=1$.
Знаки производной:
- на $(-\infty, 0)$ $y' > 0$, функция возрастает;
- на $(0, 1)$ $y' < 0$, функция убывает;
- на $(1, +\infty)$ $y' > 0$, функция возрастает.
В точке $x=0$ — локальный максимум. $y(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
В точке $x=1$ — локальный минимум. $y(1) = 4 - 5 = -1$. Точка $(1, -1)$.

4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Вторая производная: $y'' = 80x^3 - 60x^2 = 20x^2(4x - 3)$.
Точки, где $y''=0$: $x=0, x=3/4 = 0.75$.
Знаки второй производной:
- на $(-\infty, 3/4)$ $y'' < 0$, график выпуклый (кроме точки $x=0$, где $y''=0$);
- на $(3/4, +\infty)$ $y'' > 0$, график вогнутый.
В точке $x=3/4$ знак $y''$ меняется, это точка перегиба. $y(3/4) = 4(3/4)^5 - 5(3/4)^4 = (3/4)^4(3-5) = -2(81/256) = -81/128 \approx -0.63$. Точка перегиба $(3/4, -81/128)$.
В точке $x=0$ знак $y''$ не меняется, перегиба нет.

5. Поведение на бесконечности.
$\lim_{x \to +\infty} y = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} y = -\infty$.

Ответ: Для построения графика используются следующие ключевые характеристики:
- Точки пересечения с осями: $(0, 0)$ (касание) и $(1.25, 0)$.
- Локальный максимум: $(0, 0)$.
- Локальный минимум: $(1, -1)$.
- Точка перегиба: $(0.75, -81/128) \approx (0.75, -0.63)$.
- Функция возрастает на $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ и убывает на $(0, 1)$.
- График выпуклый на $(-\infty, 0.75)$ и вогнутый на $(0.75, \infty)$.

---

4) $y = (x-1)^3(x+1)^2$

1. Область определения, четность.
Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
$y(-x) = (-x-1)^3(-x+1)^2 = -(x+1)^3(x-1)^2$. Функция общего вида.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \Rightarrow y(0) = (-1)^3(1)^2 = -1$. Точка $(0, -1)$.
С осью Ox: $y=0 \Rightarrow (x-1)^3(x+1)^2 = 0$.
Корни: $x=1$ (кратность 3) и $x=-1$ (кратность 2).
Точки пересечения: $(1, 0)$ (пересечение с перегибом) и $(-1, 0)$ (касание).

3. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Первая производная: $y' = 3(x-1)^2(x+1)^2 + (x-1)^3 \cdot 2(x+1) = (x-1)^2(x+1)[3(x+1)+2(x-1)] = (x-1)^2(x+1)(5x+1)$.
Критические точки ($y'=0$): $x=1, x=-1, x=-1/5 = -0.2$.
Знаки производной определяются выражением $(x+1)(5x+1)$:
- на $(-\infty, -1)$ $y' > 0$, функция возрастает;
- на $(-1, -1/5)$ $y' < 0$, функция убывает;
- на $(-1/5, +\infty)$ $y' > 0$, функция возрастает (включая точку $x=1$).
В точке $x=-1$ — локальный максимум. $y(-1) = 0$. Точка $(-1, 0)$.
В точке $x=-1/5$ — локальный минимум. $y(-1/5) = (-6/5)^3(4/5)^2 = -216/125 \cdot 16/25 = -3456/3125 \approx -1.11$. Точка $(-0.2, -1.11)$.
В точке $x=1$ экстремума нет.

4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Раскроем $y' = (x^2-2x+1)(5x^2+6x+1) = 5x^4 - 4x^3 - 6x^2 + 4x + 1$.
Вторая производная: $y'' = 20x^3 - 12x^2 - 12x + 4 = 4(5x^3 - 3x^2 - 3x + 1)$.
Один из корней $y''=0$ — это $x=1$. Разделив многочлен на $(x-1)$, получим $y'' = 4(x-1)(5x^2+2x-1)$.
Другие корни из $5x^2+2x-1=0$: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{6}}{5}$.
Точки возможного перегиба: $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{-1-\sqrt{6}}{5} \approx -0.69$, $x_3 = \frac{-1+\sqrt{6}}{5} \approx 0.29$.
Все три точки являются точками перегиба. $y(1)=0$, $y(x_2) \approx -0.46$, $y(x_3) \approx -0.60$.

5. Поведение на бесконечности.
Степень многочлена 5, старший коэффициент $1$.
$\lim_{x \to +\infty} y = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} y = -\infty$.

Ответ: Для построения графика используются следующие ключевые характеристики:
- Точки пересечения с осями: $(0, -1)$, $(-1, 0)$ (касание), $(1, 0)$ (пересечение).
- Локальный максимум: $(-1, 0)$.
- Локальный минимум: $(-1/5, -3456/3125) \approx (-0.2, -1.11)$.
- Точки перегиба: $(1, 0)$, $(\frac{-1-\sqrt{6}}{5}, y(\dots)) \approx (-0.69, -0.46)$, $(\frac{-1+\sqrt{6}}{5}, y(\dots)) \approx (0.29, -0.60)$.
- Функция возрастает на $(-\infty, -1) \cup (-1/5, \infty)$ и убывает на $(-1, -1/5)$.