Номер 315, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Параграф 4. Производная второго порядка, выпуклость и точка перегиба - номер 315, страница 133.

Условие.

315. 1) $y = \frac{x^2}{x-2}$;

2) $y = \frac{-x^2+3x-1}{x}$;

3) $y = \frac{x^2+x-1}{x^2-2x+1}$;

4) $y = \frac{4+x-2x^2}{(x-2)^2}$;

5) $y = \frac{(x-1)^3}{(x-2)^2}$;

6) $y = \frac{x^3}{x^2-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения асимптот графика функции будем использовать следующий алгоритм:

1. Находим область определения функции и точки разрыва.
2. Ищем вертикальные асимптоты в точках разрыва. Прямая $x=a$ является вертикальной асимптотой, если хотя бы один из односторонних пределов $\lim_{x \to a-0} f(x)$ или $\lim_{x \to a+0} f(x)$ равен $\infty$.
3. Ищем горизонтальные или наклонные асимптоты.
   • Если существует конечный предел $\lim_{x \to \infty} f(x) = b$, то прямая $y=b$ — горизонтальная асимптота.
   • Если этот предел равен $\infty$, то ищем наклонную асимптоту вида $y=kx+b$, где коэффициенты находятся по формулам: $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ и $b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx)$.

1) $y = \frac{x^2}{x-2}$

1. Область определения. Знаменатель не может быть равен нулю: $x-2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$. Область определения $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Вертикальные асимптоты. Исследуем поведение функции в точке разрыва $x=2$.
$\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2}{x-2} = \frac{4}{2-0-2} = \frac{4}{-0} = -\infty$
$\lim_{x \to 2^+} \frac{x^2}{x-2} = \frac{4}{2+0-2} = \frac{4}{+0} = +\infty$
Поскольку пределы в точке $x=2$ равны бесконечности, прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

3. Наклонные и горизонтальные асимптоты. Степень числителя (2) на единицу больше степени знаменателя (1), поэтому ищем наклонную асимптоту вида $y=kx+b$.
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x(x-2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2-2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 - \frac{2}{x}} = 1$
$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2}{x-2} - 1 \cdot x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x^2 + 2x}{x-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{1 - \frac{2}{x}} = 2$
Следовательно, прямая $y=x+2$ является наклонной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=2$, наклонная асимптота $y=x+2$.

2) $y = \frac{-x^2+3x-1}{x}$

1. Область определения. $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Вертикальные асимптоты. Исследуем точку разрыва $x=0$.
$\lim_{x \to 0^-} \frac{-x^2+3x-1}{x} = \frac{-1}{-0} = +\infty$
$\lim_{x \to 0^+} \frac{-x^2+3x-1}{x} = \frac{-1}{+0} = -\infty$
Прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.

3. Наклонные и горизонтальные асимптоты. Степень числителя (2) на единицу больше степени знаменателя (1). Ищем наклонную асимптоту $y=kx+b$.
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x^2+3x-1}{x^2} = \lim_{x \to \infty} (-1 + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^2}) = -1$
$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{-x^2+3x-1}{x} - (-1)x) = \lim_{x \to \infty} \frac{-x^2+3x-1+x^2}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x-1}{x} = \lim_{x \to \infty} (3 - \frac{1}{x}) = 3$
Прямая $y=-x+3$ является наклонной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=0$, наклонная асимптота $y=-x+3$.

3) $y = \frac{x^2+x-1}{x^2-2x+1}$

1. Область определения. Преобразуем знаменатель: $x^2-2x+1 = (x-1)^2$. Знаменатель равен нулю при $x=1$. $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Вертикальные асимптоты. Исследуем точку разрыва $x=1$.
$\lim_{x \to 1} \frac{x^2+x-1}{(x-1)^2} = \frac{1^2+1-1}{(1-1)^2} = \frac{1}{0^+} = +\infty$
Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.

3. Наклонные и горизонтальные асимптоты. Степени числителя и знаменателя равны (2), значит ищем горизонтальную асимптоту.
$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+x-1}{x^2-2x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}{1-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}} = \frac{1}{1} = 1$
Прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=1$, горизонтальная асимптота $y=1$.

4) $y = \frac{4+x-2x^2}{(x-2)^2}$

1. Область определения. Знаменатель $(x-2)^2$ равен нулю при $x=2$. $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Вертикальные асимптоты. Исследуем точку разрыва $x=2$.
$\lim_{x \to 2} \frac{4+x-2x^2}{(x-2)^2} = \frac{4+2-2(2^2)}{(2-2)^2} = \frac{6-8}{0^+} = \frac{-2}{0^+} = -\infty$
Прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

3. Наклонные и горизонтальные асимптоты. Степени числителя и знаменателя равны (2), ищем горизонтальную асимптоту.
$\lim_{x \to \infty} \frac{4+x-2x^2}{(x-2)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{-2x^2+x+4}{x^2-4x+4} = \lim_{x \to \infty} \frac{-2+\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}}{1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}} = \frac{-2}{1} = -2$
Прямая $y=-2$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=2$, горизонтальная асимптота $y=-2$.

5) $y = \frac{(x-1)^3}{(x-2)^2}$

1. Область определения. Знаменатель $(x-2)^2$ равен нулю при $x=2$. $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Вертикальные асимптоты. Исследуем точку разрыва $x=2$.
$\lim_{x \to 2} \frac{(x-1)^3}{(x-2)^2} = \frac{(2-1)^3}{(2-2)^2} = \frac{1^3}{0^+} = \frac{1}{0^+} = +\infty$
Прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

3. Наклонные и горизонтальные асимптоты. Раскроем скобки: $y = \frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}{x^2 - 4x + 4}$. Степень числителя (3) на единицу больше степени знаменателя (2), ищем наклонную асимптоту $y=kx+b$.
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x-1)^3}{x(x-2)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3(1-\frac{1}{x})^3}{x \cdot x^2(1-\frac{2}{x})^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{(1-\frac{1}{x})^3}{(1-\frac{2}{x})^2} = 1$
$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}{x^2 - 4x + 4} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x(x^2 - 4x + 4)}{x^2 - 4x + 4}$
$b = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x^3 + 4x^2 - 4x}{x^2 - 4x + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x - 1}{x^2 - 4x + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{1-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}{1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}} = 1$
Прямая $y=x+1$ является наклонной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=2$, наклонная асимптота $y=x+1$.

6) $y = \frac{x^3}{x^2-1}$

1. Область определения. Знаменатель $x^2-1=(x-1)(x+1)$ равен нулю при $x=1$ и $x=-1$. $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Вертикальные асимптоты. Исследуем точки разрыва $x=1$ и $x=-1$.
Для $x=1$:
$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^3}{x^2-1} = \frac{1}{-0} = -\infty$; $\lim_{x \to 1^+} \frac{x^3}{x^2-1} = \frac{1}{+0} = +\infty$. Прямая $x=1$ — вертикальная асимптота.
Для $x=-1$:
$\lim_{x \to -1^-} \frac{x^3}{x^2-1} = \frac{-1}{+0} = -\infty$; $\lim_{x \to -1^+} \frac{x^3}{x^2-1} = \frac{-1}{-0} = +\infty$. Прямая $x=-1$ — вертикальная асимптота.

3. Наклонные и горизонтальные асимптоты. Степень числителя (3) на единицу больше степени знаменателя (2), ищем наклонную асимптоту $y=kx+b$.
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x(x^2-1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^3-x} = 1$
$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^3}{x^2-1} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x(x^2-1)}{x^2-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x^3 + x}{x^2-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2-1} = 0$
Прямая $y=x$ является наклонной асимптотой.

Ответ: вертикальные асимптоты $x=1$ и $x=-1$, наклонная асимптота $y=x$.