Номер 314, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 4. Производная второго порядка, выпуклость и точка перегиба. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 314, страница 133.

Условие.

314. 1) $y=-x^3+4x^2-3;$
2) $y=x^3-3x^2-x+3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = -x^3 + 4x^2 - 3$

Проведем полное исследование функции для построения ее графика.

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: при $x=0$, $y = -0^3 + 4(0)^2 - 3 = -3$. Точка пересечения $(0, -3)$.
С осью Ox: при $y=0$, получаем уравнение $-x^3 + 4x^2 - 3 = 0$, или $x^3 - 4x^2 + 3 = 0$.
Проверкой делителей свободного члена находим корень $x=1$, так как $1^3 - 4(1)^2 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$.
Разделим многочлен $(x^3 - 4x^2 + 3)$ на двучлен $(x-1)$ (например, по схеме Горнера или "уголком") и получим: $(x-1)(x^2 - 3x - 3) = 0$.
Решим оставшееся квадратное уравнение $x^2 - 3x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-3) = 9 + 12 = 21$.
$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$.
Таким образом, точки пересечения с осью Ox: $(1, 0)$, $(\frac{3 - \sqrt{21}}{2}, 0)$ и $(\frac{3 + \sqrt{21}}{2}, 0)$.

3. Четность и нечетность.
Найдем значение функции для $-x$: $y(-x) = -(-x)^3 + 4(-x)^2 - 3 = x^3 + 4x^2 - 3$.
Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x) = x^3 - 4x^2 + 3$, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

4. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную функции: $y' = (-x^3 + 4x^2 - 3)' = -3x^2 + 8x$.
Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:
$-3x^2 + 8x = 0 \Rightarrow x(-3x + 8) = 0$.
Отсюда критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 8/3$.
Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось:
- на интервале $(-\infty, 0)$: $y' < 0$, функция убывает.
- на интервале $(0, 8/3)$: $y' > 0$, функция возрастает.
- на интервале $(8/3, +\infty)$: $y' < 0$, функция убывает.
В точке $x=0$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(0) = -3$.
В точке $x=8/3$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(8/3) = -(8/3)^3 + 4(8/3)^2 - 3 = -\frac{512}{27} + 4 \cdot \frac{64}{27} - 3 = \frac{-512+256}{27} - \frac{81}{27} = \frac{256-81}{27} = \frac{175}{27}$.

5. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
Найдем вторую производную функции: $y'' = (-3x^2 + 8x)' = -6x + 8$.
Найдем точки возможного перегиба, решив уравнение $y'' = 0$:
$-6x + 8 = 0 \Rightarrow x = 8/6 = 4/3$.
Определим знаки второй производной на интервалах:
- на интервале $(-\infty, 4/3)$: $y'' > 0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз).
- на интервале $(4/3, +\infty)$: $y'' < 0$, график функции выпуклый (выпуклый вверх).
Поскольку в точке $x=4/3$ меняется направление выпуклости, это точка перегиба. Значение функции в этой точке: $y(4/3) = -(4/3)^3 + 4(4/3)^2 - 3 = -\frac{64}{27} + \frac{64}{9} - 3 = \frac{-64+192-81}{27} = \frac{47}{27}$.

Ответ:
Функция $y = -x^3 + 4x^2 - 3$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$.
Точки пересечения с осями координат: $(0, -3)$, $(1, 0)$, $(\frac{3 - \sqrt{21}}{2}, 0)$, $(\frac{3 + \sqrt{21}}{2}, 0)$.
Промежутки возрастания: $(0, 8/3)$.
Промежутки убывания: $(-\infty, 0) \cup (8/3, +\infty)$.
Точка локального минимума: $(0, -3)$.
Точка локального максимума: $(8/3, 175/27)$.
График функции вогнутый на $(-\infty, 4/3)$ и выпуклый на $(4/3, +\infty)$.
Точка перегиба: $(4/3, 47/27)$.

2) $y = x^3 - 3x^2 - x + 3$

Проведем полное исследование функции для построения ее графика.

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: при $x=0$, $y = 0^3 - 3(0)^2 - 0 + 3 = 3$. Точка пересечения $(0, 3)$.
С осью Ox: при $y=0$, получаем уравнение $x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$.
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$x^2(x-3) - (x-3) = 0$
$(x^2-1)(x-3) = 0$
$(x-1)(x+1)(x-3) = 0$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$, $(1, 0)$, $(3, 0)$.

3. Четность и нечетность.
Найдем значение функции для $-x$: $y(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 - (-x) + 3 = -x^3 - 3x^2 + x + 3$.
Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x) = -x^3 + 3x^2 + x - 3$, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

4. Промежутки монотонности и точки экстремума.
Найдем первую производную функции: $y' = (x^3 - 3x^2 - x + 3)' = 3x^2 - 6x - 1$.
Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$: $3x^2 - 6x - 1 = 0$.
$D = (-6)^2 - 4(3)(-1) = 36 + 12 = 48$, $\sqrt{D} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.
$x = \frac{6 \pm 4\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Критические точки: $x_1 = 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}$, $x_2 = 1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Определим знаки производной на интервалах (парабола $y'=3x^2-6x-1$ с ветвями вверх):
- на интервале $(-\infty, 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3})$: $y' > 0$, функция возрастает.
- на интервале $(1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}, 1 + \frac{2\sqrt{3}}{3})$: $y' < 0$, функция убывает.
- на интервале $(1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}, +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает.
Точка $x_1 = 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}$ — точка локального максимума. $y_{max} = y(1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}) = \frac{16\sqrt{3}}{9}$.
Точка $x_2 = 1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}$ — точка локального минимума. $y_{min} = y(1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}) = -\frac{16\sqrt{3}}{9}$.

5. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
Найдем вторую производную функции: $y'' = (3x^2 - 6x - 1)' = 6x - 6$.
Найдем точки возможного перегиба из условия $y'' = 0$:
$6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1$.
Определим знаки второй производной:
- на интервале $(-\infty, 1)$: $y'' < 0$, график функции выпуклый (выпуклый вверх).
- на интервале $(1, +\infty)$: $y'' > 0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз).
В точке $x=1$ меняется направление выпуклости, следовательно, это точка перегиба. Значение функции в этой точке: $y(1) = 1^3 - 3(1)^2 - 1 + 3 = 0$.

Ответ:
Функция $y = x^3 - 3x^2 - x + 3$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$.
Точки пересечения с осями координат: $(0, 3)$, $(-1, 0)$, $(1, 0)$, $(3, 0)$.
Промежутки возрастания: $(-\infty, 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}) \cup (1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}, +\infty)$.
Промежутки убывания: $(1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}, 1 + \frac{2\sqrt{3}}{3})$.
Точка локального максимума: $(1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{16\sqrt{3}}{9})$.
Точка локального минимума: $(1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}, -\frac{16\sqrt{3}}{9})$.
График функции выпуклый на $(-\infty, 1)$ и вогнутый на $(1, +\infty)$.
Точка перегиба: $(1, 0)$.