Номер 8, страница 137 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 8, страница 137.

Условие.

8. Сформулировать достаточные условия экстремума.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Достаточные условия экстремума — это признаки, позволяющие однозначно определить, является ли критическая точка функции точкой локального максимума, локального минимума или не является точкой экстремума. Критическая точка — это внутренняя точка области определения функции, в которой её первая производная равна нулю или не существует.

Достаточные условия экстремума для функции одной переменной $y=f(x)$

Пусть $x_0$ — критическая точка функции $f(x)$, и функция $f(x)$ непрерывна в этой точке.

1. Первое достаточное условие (по знаку первой производной)

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема в некоторой окрестности точки $x_0$, за исключением, возможно, самой точки $x_0$. Тогда:
– если при переходе через точку $x_0$ слева направо производная $f'(x)$ меняет знак с плюса на минус, то в точке $x_0$ функция имеет локальный максимум;
– если при переходе через точку $x_0$ производная $f'(x)$ меняет знак с минуса на плюс, то в точке $x_0$ функция имеет локальный минимум;
– если при переходе через точку $x_0$ производная $f'(x)$ не меняет знак, то в точке $x_0$ экстремума нет.

Ответ: Если первая производная $f'(x)$ меняет знак с «+» на «−» при переходе через критическую точку $x_0$, то это точка максимума. Если знак меняется с «−» на «+», то это точка минимума. Если знак не меняется, экстремума нет.

2. Второе достаточное условие (по знаку второй производной)

Пусть функция $f(x)$ дважды дифференцируема в окрестности стационарной точки $x_0$ (то есть $f'(x_0) = 0$). Тогда:
– если $f''(x_0) < 0$, то в точке $x_0$ функция имеет локальный максимум;
– если $f''(x_0) > 0$, то в точке $x_0$ функция имеет локальный минимум.
Если $f''(x_0) = 0$, то данное условие не дает ответа о наличии экстремума, и требуется дополнительное исследование (например, с помощью первого достаточного условия или производных высших порядков).

Ответ: Если в стационарной точке $x_0$ (где $f'(x_0)=0$) вторая производная $f''(x_0) < 0$, то это точка максимума. Если $f''(x_0) > 0$, то это точка минимума.

3. Третье достаточное условие (по производным высших порядков)

Пусть функция $f(x)$ имеет в стационарной точке $x_0$ непрерывные производные до $n$-го порядка включительно ($n \geq 2$), и при этом: $f'(x_0) = f''(x_0) = \dots = f^{(n-1)}(x_0) = 0$, а $f^{(n)}(x_0) \neq 0$. Тогда:
– если $n$ — четное число и $f^{(n)}(x_0) < 0$, то в точке $x_0$ функция имеет локальный максимум;
– если $n$ — четное число и $f^{(n)}(x_0) > 0$, то в точке $x_0$ функция имеет локальный минимум;
– если $n$ — нечетное число, то в точке $x_0$ экстремума нет (это точка перегиба).

Ответ: Если первая отличная от нуля производная в стационарной точке $x_0$ имеет четный порядок $n$ и $f^{(n)}(x_0) < 0$, то это точка максимума. Если $f^{(n)}(x_0) > 0$, то это точка минимума. Если порядок $n$ нечетный, экстремума нет.

Достаточные условия экстремума для функции двух переменных $z=f(x, y)$

Пусть $M_0(x_0, y_0)$ — стационарная точка функции $f(x, y)$, то есть точка, в которой частные производные первого порядка равны нулю: $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = 0$ и $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = 0$.
Пусть функция $f(x, y)$ имеет непрерывные частные производные второго порядка в окрестности точки $M_0(x_0, y_0)$. Введем обозначения для значений вторых частных производных в этой точке:
$A = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0)$, $B = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0, y_0)$, $C = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0, y_0)$.
Составим дискриминант (определитель матрицы Гессе):
$\Delta = AC - B^2 = \begin{vmatrix} A & B \\ B & C \end{vmatrix}$
Тогда:
– если $\Delta > 0$ и $A > 0$ (или $C>0$), то $M_0(x_0, y_0)$ — точка локального минимума;
– если $\Delta > 0$ и $A < 0$ (или $C<0$), то $M_0(x_0, y_0)$ — точка локального максимума;
– если $\Delta < 0$, то в точке $M_0(x_0, y_0)$ экстремума нет (это седловая точка);
– если $\Delta = 0$, то требуется дополнительное исследование (тест не дает ответа).

Ответ: В стационарной точке $M_0(x_0, y_0)$ функция имеет экстремум, если дискриминант $\Delta = AC - B^2 > 0$. При этом если $A < 0$, то это максимум, а если $A > 0$ — минимум. Если $\Delta < 0$, экстремума нет. Если $\Delta = 0$, тест не дает ответа.