Номер 14, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 14, страница 138.

Условие.

14. Сформулировать определение выпуклости вверх (вниз) функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Определение выпуклости функции вниз (вогнутости)

Функция $y = f(x)$ называется выпуклой вниз (или вогнутой) на интервале $(a, b)$, если для любых двух точек $x_1, x_2$ из этого интервала и для любого числа $\alpha \in [0, 1]$ выполняется неравенство (неравенство Йенсена):

$f(\alpha x_1 + (1-\alpha) x_2) \le \alpha f(x_1) + (1-\alpha) f(x_2)$

Геометрический смысл: График выпуклой вниз функции на интервале $(a, b)$ расположен не выше любой своей хорды. Хордой называется отрезок, соединяющий две любые точки графика $(x_1, f(x_1))$ и $(x_2, f(x_2))$, где $x_1, x_2 \in (a, b)$.

Критерии для дифференцируемых функций:

• Если функция $f(x)$ дифференцируема на $(a, b)$, то она выпукла вниз тогда и только тогда, когда ее производная $f'(x)$ является неубывающей функцией на этом интервале. Геометрически это означает, что касательная к графику в любой точке лежит не выше самого графика.
• Если функция $f(x)$ дважды дифференцируема на $(a, b)$, то она выпукла вниз на этом интервале тогда и только тогда, когда ее вторая производная неотрицательна: $f''(x) \ge 0$ для всех $x \in (a, b)$.

Если указанное выше неравенство является строгим ($<$) для любых различных $x_1, x_2$ и любого $\alpha \in (0, 1)$, то функция называется строго выпуклой вниз.

Ответ: Функция $f(x)$ называется выпуклой вниз на интервале $(a, b)$, если для любых $x_1, x_2 \in (a, b)$ и для любого $\alpha \in [0, 1]$ выполняется неравенство $f(\alpha x_1 + (1-\alpha) x_2) \le \alpha f(x_1) + (1-\alpha) f(x_2)$.

Определение выпуклости функции вверх (выпуклости)

Функция $y = f(x)$ называется выпуклой вверх (или просто выпуклой в некоторой терминологии) на интервале $(a, b)$, если для любых двух точек $x_1, x_2$ из этого интервала и для любого числа $\alpha \in [0, 1]$ выполняется неравенство:

$f(\alpha x_1 + (1-\alpha) x_2) \ge \alpha f(x_1) + (1-\alpha) f(x_2)$

Геометрический смысл: График выпуклой вверх функции на интервале $(a, b)$ расположен не ниже любой своей хорды.

Критерии для дифференцируемых функций:

• Если функция $f(x)$ дифференцируема на $(a, b)$, то она выпукла вверх тогда и только тогда, когда ее производная $f'(x)$ является невозрастающей функцией на этом интервале. Геометрически это означает, что касательная к графику в любой точке лежит не ниже самого графика.
• Если функция $f(x)$ дважды дифференцируема на $(a, b)$, то она выпукла вверх на этом интервале тогда и только тогда, когда ее вторая производная неположительна: $f''(x) \le 0$ для всех $x \in (a, b)$.

Если указанное выше неравенство является строгим ($>$) для любых различных $x_1, x_2$ и любого $\alpha \in (0, 1)$, то функция называется строго выпуклой вверх.

Ответ: Функция $f(x)$ называется выпуклой вверх на интервале $(a, b)$, если для любых $x_1, x_2 \in (a, b)$ и для любого $\alpha \in [0, 1]$ выполняется неравенство $f(\alpha x_1 + (1-\alpha) x_2) \ge \alpha f(x_1) + (1-\alpha) f(x_2)$.