Номер 2, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Проверь себя!. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 2, страница 138.
№2 (с. 138)
Условие. №2 (с. 138)
скриншот условия

2. Найти точки экстремума функции $y = x^4 - 4x^3 + 20$ и значения функции в этих точках.
Решение 1. №2 (с. 138)

Решение 2. №2 (с. 138)

Решение 3. №2 (с. 138)
Для нахождения точек экстремума функции $y = x^4 - 4x^3 + 20$ и значений функции в этих точках, необходимо выполнить следующие действия.
1. Нахождение производной функции
Сначала найдем первую производную функции $y(x)$. Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), так как это многочлен.
$y' = (x^4 - 4x^3 + 20)' = 4x^{3} - 4 \cdot 3x^{2} + 0 = 4x^3 - 12x^2$.
2. Нахождение критических точек
Критические точки — это точки из области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует. Так как производная $y' = 4x^3 - 12x^2$ существует при любых значениях $x$, найдем точки, в которых она обращается в ноль.
$y' = 0 \implies 4x^3 - 12x^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $4x^2$ за скобки:
$4x^2(x - 3) = 0$.
Данное уравнение имеет два решения:
$4x^2 = 0 \implies x_1 = 0$.
$x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$.
Таким образом, мы получили две критические точки: $x = 0$ и $x = 3$.
3. Исследование знака производной и определение точек экстремума
Исследуем знак производной $y'$ на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty; 0)$, $(0; 3)$ и $(3; +\infty)$.
— На интервале $(-\infty; 0)$ возьмем пробную точку $x = -1$.
$y'(-1) = 4(-1)^2(-1 - 3) = 4 \cdot 1 \cdot (-4) = -16 < 0$. Функция на этом интервале убывает.
— На интервале $(0; 3)$ возьмем пробную точку $x = 1$.
$y'(1) = 4(1)^2(1 - 3) = 4 \cdot 1 \cdot (-2) = -8 < 0$. Функция на этом интервале также убывает.
— На интервале $(3; +\infty)$ возьмем пробную точку $x = 4$.
$y'(4) = 4(4)^2(4 - 3) = 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 > 0$. Функция на этом интервале возрастает.
Теперь проанализируем поведение функции в критических точках:
— При переходе через точку $x = 0$ производная не меняет свой знак (с «–» на «–»). Следовательно, в точке $x = 0$ экстремума нет.
— При переходе через точку $x = 3$ производная меняет свой знак с «–» на «+». Следовательно, в точке $x = 3$ функция имеет локальный минимум.
4. Вычисление значения функции в точке экстремума
Мы установили, что у функции есть одна точка экстремума — точка минимума $x = 3$. Вычислим значение функции в этой точке:
$y(3) = 3^4 - 4 \cdot 3^3 + 20 = 81 - 4 \cdot 27 + 20 = 81 - 108 + 20 = -7$.
Ответ: единственная точка экстремума функции — это точка минимума $x = 3$. Значение функции в этой точке равно $y(3)=-7$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 2 расположенного на странице 138 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2 (с. 138), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.