Номер 2, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Проверь себя! - номер 2, страница 138.

Условие.

2. Найти точки экстремума функции $y = x^4 - 4x^3 + 20$ и значения функции в этих точках.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения точек экстремума функции $y = x^4 - 4x^3 + 20$ и значений функции в этих точках, необходимо выполнить следующие действия.

1. Нахождение производной функции

Сначала найдем первую производную функции $y(x)$. Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), так как это многочлен.

$y' = (x^4 - 4x^3 + 20)' = 4x^{3} - 4 \cdot 3x^{2} + 0 = 4x^3 - 12x^2$.

2. Нахождение критических точек

Критические точки — это точки из области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует. Так как производная $y' = 4x^3 - 12x^2$ существует при любых значениях $x$, найдем точки, в которых она обращается в ноль.

$y' = 0 \implies 4x^3 - 12x^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $4x^2$ за скобки:

$4x^2(x - 3) = 0$.

Данное уравнение имеет два решения:

$4x^2 = 0 \implies x_1 = 0$.

$x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$.

Таким образом, мы получили две критические точки: $x = 0$ и $x = 3$.

3. Исследование знака производной и определение точек экстремума

Исследуем знак производной $y'$ на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty; 0)$, $(0; 3)$ и $(3; +\infty)$.

— На интервале $(-\infty; 0)$ возьмем пробную точку $x = -1$.
$y'(-1) = 4(-1)^2(-1 - 3) = 4 \cdot 1 \cdot (-4) = -16 < 0$. Функция на этом интервале убывает.

— На интервале $(0; 3)$ возьмем пробную точку $x = 1$.
$y'(1) = 4(1)^2(1 - 3) = 4 \cdot 1 \cdot (-2) = -8 < 0$. Функция на этом интервале также убывает.

— На интервале $(3; +\infty)$ возьмем пробную точку $x = 4$.
$y'(4) = 4(4)^2(4 - 3) = 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 > 0$. Функция на этом интервале возрастает.

Теперь проанализируем поведение функции в критических точках:

— При переходе через точку $x = 0$ производная не меняет свой знак (с «–» на «–»). Следовательно, в точке $x = 0$ экстремума нет.

— При переходе через точку $x = 3$ производная меняет свой знак с «–» на «+». Следовательно, в точке $x = 3$ функция имеет локальный минимум.

4. Вычисление значения функции в точке экстремума

Мы установили, что у функции есть одна точка экстремума — точка минимума $x = 3$. Вычислим значение функции в этой точке:

$y(3) = 3^4 - 4 \cdot 3^3 + 20 = 81 - 4 \cdot 27 + 20 = 81 - 108 + 20 = -7$.

Ответ: единственная точка экстремума функции — это точка минимума $x = 3$. Значение функции в этой точке равно $y(3)=-7$.