Номер 3, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Проверь себя! - номер 3, страница 138.

Условие.

3. Построить график функции $y = x^3 + 3x^2 - 4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения графика функции $y = x^3 + 3x^2 - 4$ проведем ее полное исследование по шагам.

1. Область определения функции

Данная функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных значений аргумента $x$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью ординат (Oy):
Для нахождения точки пересечения с осью Oy подставим $x=0$ в уравнение функции:
$y(0) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 - 4 = -4$.
Таким образом, график пересекает ось Oy в точке $(0, -4)$.

Пересечение с осью абсцисс (Ox):
Для нахождения точек пересечения с осью Ox приравняем функцию к нулю: $y=0$.
$x^3 + 3x^2 - 4 = 0$.
Это кубическое уравнение. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена $(-4)$: $\pm1, \pm2, \pm4$.
Проверим $x=1$: $1^3 + 3 \cdot 1^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$. Следовательно, $x=1$ является корнем уравнения.
Это означает, что многочлен $(x^3 + 3x^2 - 4)$ делится на $(x-1)$ без остатка. Выполним деление (например, столбиком или по схеме Горнера):
$(x^3 + 3x^2 - 4) : (x-1) = x^2 + 4x + 4$.
Теперь уравнение можно представить в виде: $(x-1)(x^2 + 4x + 4) = 0$.
Квадратный трехчлен $x^2 + 4x + 4$ является полным квадратом: $(x+2)^2$.
Уравнение принимает вид: $(x-1)(x+2)^2 = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 1$ (корень кратности 1) и $x_2 = -2$ (корень кратности 2).
Таким образом, график пересекает ось Ox в точке $(1, 0)$ и касается оси Ox в точке $(-2, 0)$.

Ответ: Точка пересечения с осью Oy: $(0, -4)$. Точки пересечения с осью Ox: $(1, 0)$ и $(-2, 0)$.

3. Исследование на четность и нечетность

Проверим, выполняется ли условие четности $y(-x) = y(x)$ или нечетности $y(-x) = -y(x)$.
$y(-x) = (-x)^3 + 3(-x)^2 - 4 = -x^3 + 3x^2 - 4$.
Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: Функция является функцией общего вида (ни четная, ни нечетная).

4. Нахождение экстремумов и промежутков монотонности

Найдем первую производную функции:
$y' = (x^3 + 3x^2 - 4)' = 3x^2 + 6x$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$3x^2 + 6x = 0$
$3x(x+2) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$.
Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$ и $(0, +\infty)$. Определим знак производной на каждом интервале:
- При $x \in (-\infty, -2)$ (например, $x=-3$): $y'(-3) = 3(-3)^2 + 6(-3) = 27 - 18 = 9 > 0$. Функция возрастает.
- При $x \in (-2, 0)$ (например, $x=-1$): $y'(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) = 3 - 6 = -3 < 0$. Функция убывает.
- При $x \in (0, +\infty)$ (например, $x=1$): $y'(1) = 3(1)^2 + 6(1) = 9 > 0$. Функция возрастает.
В точке $x=-2$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0$.
В точке $x=0$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(0) = 0^3 + 3(0)^2 - 4 = -4$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, +\infty)$, убывает на промежутке $[-2, 0]$. Точка максимума: $(-2, 0)$. Точка минимума: $(0, -4)$.

5. Нахождение точек перегиба и промежутков выпуклости/вогнутости

Найдем вторую производную функции:
$y'' = (3x^2 + 6x)' = 6x + 6$.
Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:
$6x + 6 = 0 \implies x = -1$.
Эта точка делит числовую ось на два интервала: $(-\infty, -1)$ и $(-1, +\infty)$. Определим знак второй производной на каждом из них:
- При $x \in (-\infty, -1)$ (например, $x=-2$): $y''(-2) = 6(-2) + 6 = -6 < 0$. На этом интервале график функции выпуклый вверх (вогнутый).
- При $x \in (-1, +\infty)$ (например, $x=0$): $y''(0) = 6(0) + 6 = 6 > 0$. На этом интервале график функции выпуклый вниз.
Поскольку в точке $x=-1$ вторая производная меняет знак, это точка перегиба. Найдем ординату этой точки: $y(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 4 = -1 + 3 - 4 = -2$.

Ответ: График функции является выпуклым вверх на промежутке $(-\infty, -1]$ и выпуклым вниз на промежутке $[-1, +\infty)$. Точка перегиба имеет координаты $(-1, -2)$.

6. Построение графика

На основе полученных данных можно построить график. Сведем ключевые точки и интервалы в таблицу для наглядности.

$x$	$(-\infty, -2)$	$-2$	$(-2, -1)$	$-1$	$(-1, 0)$	$0$	$(0, +\infty)$
$y'$	+	0	-	-	-	0	+
$y''$	-	-	-	0	+	+	+
Характер функции	Возрастает, выпукла вверх	$y=0$ Максимум	Убывает, выпукла вверх	$y=-2$ Перегиб	Убывает, выпукла вниз	$y=-4$ Минимум	Возрастает, выпукла вниз

Для построения графика нанесем на координатную плоскость найденные точки: точку максимума $(-2, 0)$, точку минимума $(0, -4)$, точку перегиба $(-1, -2)$ и точку пересечения с осью Ox $(1, 0)$. Соединим эти точки плавной кривой, учитывая интервалы возрастания/убывания и направления выпуклости.

Ответ: График функции $y = x^3 + 3x^2 - 4$ представляет собой кубическую параболу. Он начинается в третьей координатной четверти, возрастает до точки максимума $(-2, 0)$, где касается оси Ox. Затем график убывает, меняя выпуклость с верхней на нижнюю в точке перегиба $(-1, -2)$, и достигает точки минимума $(0, -4)$. После этого график снова возрастает, пересекает ось Ox в точке $(1, 0)$ и уходит в бесконечность в первой координатной четверти.