Номер 16, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 16, страница 138.

Условие.

16. Как с помощью второй производной выяснить, является ли функция выпуклой вверх (вниз) на интервале; имеет ли точку перегиба?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Как с помощью второй производной выяснить, является ли функция выпуклой вверх (вниз) на интервале

Вторая производная функции, $f''(x)$, показывает скорость изменения первой производной $f'(x)$, которая, в свою очередь, определяет наклон касательной к графику функции. Знак второй производной позволяет судить об изгибе (направлении выпуклости) графика функции.

Пусть функция $f(x)$ дважды дифференцируема на некотором интервале $I$.

• Если для всех $x$ из интервала $I$ выполняется неравенство $f''(x) > 0$, то график функции на этом интервале является выпуклым вниз (также говорят "вогнутым"). Геометрически это означает, что график функции расположен выше любой своей касательной на этом интервале (за исключением точки касания).
• Если для всех $x$ из интервала $I$ выполняется неравенство $f''(x) < 0$, то график функции на этом интервале является выпуклым вверх. Геометрически это означает, что график функции расположен ниже любой своей касательной на этом интервале (за исключением точки касания).

Для нахождения интервалов выпуклости функции используется следующий алгоритм:

1. Найти область определения функции $f(x)$.
2. Найти вторую производную $f''(x)$.
3. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю ($f''(x) = 0$) или не существует.
4. Отметить эти точки на числовой оси, разбив тем самым область определения на интервалы постоянства знака $f''(x)$.
5. Определить знак второй производной $f''(x)$ на каждом из полученных интервалов (например, подставив в $f''(x)$ любую пробную точку из интервала).
6. Сделать вывод о направлении выпуклости на каждом интервале на основании знака $f''(x)$.

Ответ: Если на интервале вторая производная $f''(x) > 0$, то функция выпукла вниз (вогнута). Если на интервале $f''(x) < 0$, то функция выпукла вверх.

Как с помощью второй производной выяснить, имеет ли функция точку перегиба

Точка перегиба – это точка на графике непрерывной функции, при переходе через которую меняется направление ее выпуклости (то есть выпуклость вверх сменяется выпуклостью вниз, или наоборот).

Для нахождения точек перегиба используются необходимое и достаточное условия.

• Необходимое условие точки перегиба. Если $x_0$ – абсцисса точки перегиба графика функции $f(x)$, то ее вторая производная в этой точке либо равна нулю ($f''(x_0) = 0$), либо не существует. Точки, удовлетворяющие этому условию, являются "кандидатами" на точки перегиба.
• Достаточное условие точки перегиба. Пусть функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$. Если при переходе через точку $x_0$ ее вторая производная $f''(x)$ меняет знак, то точка с координатами $(x_0, f(x_0))$ является точкой перегиба графика функции.

Алгоритм нахождения точек перегиба:

1. Найти область определения функции $f(x)$.
2. Найти вторую производную $f''(x)$.
3. Найти точки из области определения, в которых $f''(x) = 0$ или $f''(x)$ не существует (кандидаты на точки перегиба).
4. Исследовать знак второй производной $f''(x)$ в окрестностях каждой найденной точки (слева и справа от нее).
5. Если при переходе через точку $x_0$ знак $f''(x)$ меняется, то $x_0$ является абсциссой точки перегиба. Для нахождения самой точки перегиба нужно вычислить ее ординату $y_0 = f(x_0)$.

Ответ: Функция имеет точку перегиба в точке $x_0$, если она непрерывна в этой точке и ее вторая производная $f''(x)$ меняет знак при переходе через $x_0$. При этом в самой точке $x_0$ вторая производная должна быть равна нулю или не существовать.