Номер 4, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Проверь себя! - номер 4, страница 138.

Условие.

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=x+\frac{9}{x}$ на отрезке $[1; 4]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом отрезке необходимо найти значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку. Затем следует сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Заданная функция: $f(x) = x + \frac{9}{x}$ на отрезке $[1; 4]$.

1. Найдем производную функции.
$f'(x) = (x + \frac{9}{x})' = (x)' + (9x^{-1})' = 1 - 9x^{-2} = 1 - \frac{9}{x^2}$.

2. Найдем критические точки функции.
Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует.
Производная $f'(x) = 1 - \frac{9}{x^2}$ не существует при $x=0$. Эта точка не входит в область определения функции и в заданный отрезок $[1; 4]$.
Приравняем производную к нулю:
$f'(x) = 0 \implies 1 - \frac{9}{x^2} = 0$
$1 = \frac{9}{x^2}$
$x^2 = 9$
$x = 3$ или $x = -3$.
Из найденных точек только $x=3$ принадлежит отрезку $[1; 4]$.

3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка.
Следовательно, для нахождения наибольшего и наименьшего значений нам нужно сравнить значения функции в трех точках: $x=1$, $x=3$ и $x=4$.
- При $x=1$ (левая граница отрезка): $f(1) = 1 + \frac{9}{1} = 10$.
- При $x=3$ (критическая точка): $f(3) = 3 + \frac{9}{3} = 3 + 3 = 6$.
- При $x=4$ (правая граница отрезка): $f(4) = 4 + \frac{9}{4} = 4 + 2.25 = 6.25$.

4. Сравним полученные значения.
Мы получили три значения: $10$, $6$ и $6.25$.
Наибольшее из этих значений равно $10$.
Наименьшее из этих значений равно $6$.

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $[1; 4]$ равно 10, а наименьшее значение равно 6.