Номер 17, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе III. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 17, страница 138.

Условие.

17. Пояснить геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Теорема Лагранжа (или теорема о среднем значении) является одной из ключевых теорем в дифференциальном исчислении. Её геометрический смысл очень нагляден.

Сначала приведем формулировку теоремы. Если функция $y=f(x)$ удовлетворяет двум условиям:
1. непрерывна на замкнутом отрезке $[a, b]$;
2. дифференцируема на открытом интервале $(a, b)$;
тогда на интервале $(a, b)$ существует по крайней мере одна точка $c$ (то есть $a < c < b$), для которой выполняется следующее равенство:
$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Для того чтобы понять геометрический смысл, давайте разберем обе части этого равенства с точки зрения геометрии на графике функции $y=f(x)$.

Геометрический смысл правой части: $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
Рассмотрим точки $A$ с координатами $(a, f(a))$ и $B$ с координатами $(b, f(b))$. Это начальная и конечная точки дуги графика функции на отрезке $[a, b]$. Прямая, которая проходит через эти две точки, называется секущей. Выражение $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ — это в точности угловой коэффициент этой секущей. Он равен тангенсу угла, который секущая $AB$ образует с положительным направлением оси Ox. Эта величина также характеризует среднюю скорость изменения функции на отрезке $[a, b]$.

Геометрический смысл левой части: $f'(c)$
Из определения производной известно, что ее значение в точке $c$, то есть $f'(c)$, равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $c$. Эта величина характеризует мгновенную скорость изменения функции в точке $c$.

Общая геометрическая интерпретация
Равенство $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ означает, что угловой коэффициент касательной в точке $c$ равен угловому коэффициенту секущей, проходящей через точки $A$ и $B$. Поскольку прямые с равными угловыми коэффициентами параллельны, теорему Лагранжа можно сформулировать так:
На дуге графика функции, удовлетворяющей условиям теоремы, найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику параллельна хорде (секущей), соединяющей концы этой дуги.

Проще говоря, если вы нарисуете гладкую непрерывную кривую от одной точки до другой, то где-то на этой кривой обязательно найдется точка, в которой наклон кривой будет точно таким же, как наклон прямой линии, соединяющей начальную и конечную точки.

Ответ: Геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в том, что если график функции $y=f(x)$ на отрезке $[a, b]$ является гладкой кривой (непрерывной и не имеющей изломов), то на этой кривой найдется по крайней мере одна точка $C(c, f(c))$, где $c \in (a, b)$, в которой касательная к графику параллельна хорде, соединяющей конечные точки дуги $A(a, f(a))$ и $B(b, f(b))$.