Номер 1, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 1, страница 138.

Условие.

1. При каких значениях а функция $y = x^3 + 3ax$ возрастает на всей числовой прямой?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы функция $y = x^3 + 3ax$ возрастала на всей числовой прямой, ее производная должна быть неотрицательной для всех действительных значений $x$.

Находим производную функции.
Дана функция $y(x) = x^3 + 3ax$. Ее производная по $x$ равна: $y'(x) = (x^3)' + (3ax)' = 3x^2 + 3a$.

Анализируем условие возрастания.
Условие возрастания функции на всей числовой прямой: $y'(x) \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Подставляем выражение для производной и получаем неравенство: $3x^2 + 3a \ge 0$.

Решаем полученное неравенство.
Разделим обе части на 3: $x^2 + a \ge 0$.

Это неравенство должно выполняться для любого значения $x$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), его наименьшее значение равно 0 (достигается при $x=0$).
Чтобы сумма $x^2 + a$ была всегда неотрицательной, необходимо, чтобы при наименьшем значении $x^2$ (то есть при $x^2=0$) неравенство выполнялось. Подставляя $x=0$, получаем: $0 + a \ge 0$,
что равносильно $a \ge 0$.

Другой подход — рассмотреть $x^2 + a$ как квадратный трехчлен относительно $x$. Его график — парабола с ветвями вверх. Эта парабола будет целиком лежать не ниже оси абсцисс (то есть $x^2+a \ge 0$) только в том случае, если она имеет не более одной точки пересечения с этой осью. Это означает, что дискриминант соответствующего квадратного уравнения $x^2 + a = 0$ должен быть неположительным ($D \le 0$).
В уравнении $x^2 + 0 \cdot x + a = 0$ дискриминант $D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = -4a$.
Решаем неравенство $D \le 0$: $-4a \le 0$.
Разделив обе части на -4 и изменив знак неравенства на противоположный, получаем: $a \ge 0$.

Таким образом, функция возрастает на всей числовой прямой при $a \ge 0$.

Ответ: $a \ge 0$.