Номер 2, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 2, страница 138.

Условие.

2. Построить график функции

$y = x + \frac{4}{x}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения графика функции $y = x + \frac{4}{x}$ проведем полное исследование функции.

1. Область определения функции

Функция определена для всех действительных чисел $x$, кроме тех, при которых знаменатель дроби обращается в ноль. В данном случае знаменатель равен $x$.

$x \neq 0$

Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: Область определения функции $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность и нечетность функции

Проверим, является ли функция четной или нечетной. Для этого найдем $y(-x)$:

$y(-x) = (-x) + \frac{4}{(-x)} = -x - \frac{4}{x} = -(x + \frac{4}{x}) = -y(x)$

Поскольку выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Это означает, что ее график симметричен относительно начала координат.

Ответ: Функция нечетная.

3. Точки пересечения с осями координат

• Пересечение с осью Oy (осью ординат): для этого нужно подставить $x=0$ в уравнение функции. Однако $x=0$ не входит в область определения, поэтому график не пересекает ось Oy.

• Пересечение с осью Ox (осью абсцисс): для этого нужно приравнять $y$ к нулю: $y=0$.

$x + \frac{4}{x} = 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2 + 4}{x} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4$

Это уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, график не пересекает ось Ox.

Ответ: Точек пересечения с осями координат нет.

4. Асимптоты

• Вертикальные асимптоты. Они могут существовать в точках разрыва. У нас такая точка одна: $x=0$. Найдем односторонние пределы:

$\lim_{x \to 0^+} (x + \frac{4}{x}) = 0 + \frac{4}{+0} = +\infty$

$\lim_{x \to 0^-} (x + \frac{4}{x}) = 0 + \frac{4}{-0} = -\infty$

Так как пределы равны бесконечности, прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

• Наклонные асимптоты. Ищем асимптоту в виде прямой $y = kx + b$.

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x + 4/x}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (1 + \frac{4}{x^2}) = 1 + 0 = 1$

$b = \lim_{x \to \pm\infty} (y(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} (x + \frac{4}{x} - 1 \cdot x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4}{x} = 0$

Таким образом, прямая $y = 1x + 0$, то есть $y=x$, является наклонной асимптотой при $x \to +\infty$ и при $x \to -\infty$. Горизонтальных асимптот нет.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x=0$. Наклонная асимптота: $y=x$.

5. Интервалы монотонности и точки экстремума

Найдем первую производную функции:

$y' = (x + \frac{4}{x})' = (x + 4x^{-1})' = 1 - 4x^{-2} = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2}$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$\frac{x^2 - 4}{x^2} = 0 \implies x^2 - 4 = 0 \implies (x-2)(x+2) = 0$

Критические точки: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$.

• На $(-\infty; -2)$: $y' > 0$, функция возрастает.

• На $(-2; 0)$: $y' < 0$, функция убывает.

• На $(0; 2)$: $y' < 0$, функция убывает.

• На $(2; +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x = -2$ производная меняет знак с "+" на "-", значит, это точка локального максимума. $y_{max} = y(-2) = -2 + \frac{4}{-2} = -4$. Точка максимума $(-2; -4)$.

В точке $x = 2$ производная меняет знак с "-" на "+", значит, это точка локального минимума. $y_{min} = y(2) = 2 + \frac{4}{2} = 4$. Точка минимума $(2; 4)$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$; убывает на промежутках $[-2; 0)$ и $(0; 2]$. Точка локального максимума $(-2; -4)$, точка локального минимума $(2; 4)$.

6. Направление выпуклости и точки перегиба

Найдем вторую производную:

$y'' = (1 - 4x^{-2})' = -4(-2)x^{-3} = \frac{8}{x^3}$

Вторая производная не равна нулю ни в одной точке. Знак $y''$ зависит от знака $x$.

• При $x \in (-\infty; 0)$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх.

• При $x \in (0; +\infty)$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (вогнутый).

Так как в точке $x=0$ (где меняется направление выпуклости) функция не определена, точек перегиба у графика нет.

Ответ: График выпуклый вверх на интервале $(-\infty; 0)$ и выпуклый вниз на интервале $(0; +\infty)$. Точек перегиба нет.

7. Построение графика

На основе проведенного анализа можно построить график.
График состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат.
Первая ветвь расположена в первом координатном квадранте. Она приближается к оси Oy слева, уходя в $+\infty$. Затем убывает до точки локального минимума $(2; 4)$, после чего возрастает, асимптотически приближаясь сверху к прямой $y=x$. Эта ветвь выпукла вниз.
Вторая ветвь расположена в третьем координатном квадранте. Она асимптотически приближается снизу к прямой $y=x$ при $x \to -\infty$, затем возрастает до точки локального максимума $(-2; -4)$, после чего убывает, уходя в $-\infty$ при приближении к оси Oy справа. Эта ветвь выпукла вверх.

Ответ: График функции представляет собой две ветви гиперболического типа, расположенные в I и III координатных четвертях. График симметричен относительно начала координат, имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и наклонную асимптоту $y=x$. Точка локального минимума - $(2; 4)$, точка локального максимума - $(-2; -4)$.