Номер 3, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Проверь себя!. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 3, страница 138.
№3 (с. 138)
Условие. №3 (с. 138)
скриншот условия

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=\frac{x^2}{e^x}$ на отрезке $[-1; 3]$.
Решение 1. №3 (с. 138)

Решение 2. №3 (с. 138)

Решение 3. №3 (с. 138)
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти ее значения на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку. Наибольшее из этих значений будет наибольшим значением функции на отрезке, а наименьшее — наименьшим.
Дана функция $f(x) = \frac{x^2}{e^x}$ на отрезке $[-1; 3]$.
1. Найдем производную функции $f(x)$. По правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(x^2)' \cdot e^x - x^2 \cdot (e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{2x \cdot e^x - x^2 \cdot e^x}{e^{2x}}$
Вынесем общий множитель $e^x$ в числителе и сократим дробь:
$f'(x) = \frac{e^x(2x - x^2)}{e^{2x}} = \frac{2x - x^2}{e^x}$
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю. Производная $f'(x)$ определена для всех $x$, поскольку $e^x > 0$.
$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{2x - x^2}{e^x} = 0$
Это равенство выполняется, когда числитель равен нулю:
$2x - x^2 = 0$
$x(2 - x) = 0$
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
3. Проверим, принадлежат ли найденные критические точки отрезку $[-1; 3]$.
Обе точки, $x = 0$ и $x = 2$, принадлежат заданному отрезку.
4. Вычислим значения функции в критических точках ($x=0, x=2$) и на концах отрезка ($x=-1, x=3$).
При $x = -1$: $f(-1) = \frac{(-1)^2}{e^{-1}} = \frac{1}{1/e} = e$.
При $x = 0$: $f(0) = \frac{0^2}{e^0} = \frac{0}{1} = 0$.
При $x = 2$: $f(2) = \frac{2^2}{e^2} = \frac{4}{e^2}$.
При $x = 3$: $f(3) = \frac{3^2}{e^3} = \frac{9}{e^3}$.
5. Сравним полученные значения: $e$, $0$, $\frac{4}{e^2}$ и $\frac{9}{e^3}$.
Используя приближенное значение $e \approx 2.718$, имеем:
$f(-1) = e \approx 2.718$
$f(0) = 0$
$f(2) = \frac{4}{e^2} \approx \frac{4}{7.389} \approx 0.541$
$f(3) = \frac{9}{e^3} \approx \frac{9}{20.086} \approx 0.448$
Из этих значений видно, что наибольшее значение равно $e$ (при $x=-1$), а наименьшее равно $0$ (при $x=0$).
Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 3]$ равно $0$, наибольшее значение равно $e$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 3 расположенного на странице 138 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3 (с. 138), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.