Номер 3, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Проверь себя! - номер 3, страница 138.

Условие.

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=\frac{x^2}{e^x}$ на отрезке $[-1; 3]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти ее значения на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку. Наибольшее из этих значений будет наибольшим значением функции на отрезке, а наименьшее — наименьшим.

Дана функция $f(x) = \frac{x^2}{e^x}$ на отрезке $[-1; 3]$.

1. Найдем производную функции $f(x)$. По правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(x^2)' \cdot e^x - x^2 \cdot (e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{2x \cdot e^x - x^2 \cdot e^x}{e^{2x}}$

Вынесем общий множитель $e^x$ в числителе и сократим дробь:

$f'(x) = \frac{e^x(2x - x^2)}{e^{2x}} = \frac{2x - x^2}{e^x}$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю. Производная $f'(x)$ определена для всех $x$, поскольку $e^x > 0$.

$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{2x - x^2}{e^x} = 0$

Это равенство выполняется, когда числитель равен нулю:

$2x - x^2 = 0$

$x(2 - x) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

3. Проверим, принадлежат ли найденные критические точки отрезку $[-1; 3]$.

Обе точки, $x = 0$ и $x = 2$, принадлежат заданному отрезку.

4. Вычислим значения функции в критических точках ($x=0, x=2$) и на концах отрезка ($x=-1, x=3$).

При $x = -1$: $f(-1) = \frac{(-1)^2}{e^{-1}} = \frac{1}{1/e} = e$.

При $x = 0$: $f(0) = \frac{0^2}{e^0} = \frac{0}{1} = 0$.

При $x = 2$: $f(2) = \frac{2^2}{e^2} = \frac{4}{e^2}$.

При $x = 3$: $f(3) = \frac{3^2}{e^3} = \frac{9}{e^3}$.

5. Сравним полученные значения: $e$, $0$, $\frac{4}{e^2}$ и $\frac{9}{e^3}$.

Используя приближенное значение $e \approx 2.718$, имеем:

$f(-1) = e \approx 2.718$

$f(0) = 0$

$f(2) = \frac{4}{e^2} \approx \frac{4}{7.389} \approx 0.541$

$f(3) = \frac{9}{e^3} \approx \frac{9}{20.086} \approx 0.448$

Из этих значений видно, что наибольшее значение равно $e$ (при $x=-1$), а наименьшее равно $0$ (при $x=0$).

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 3]$ равно $0$, наибольшее значение равно $e$.