Номер 354, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 1. Первообразная - номер 354, страница 144.

Условие.

354. Найти все первообразные для функции:

1) $x^6$;

2) $x^5$;

3) $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$;

4) $\sqrt[4]{x}$;

5) $x^{\frac{2}{3}}$;

6) $x^{-\frac{3}{4}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения всех первообразных (неопределенного интеграла) для степенной функции вида $f(x) = x^n$ используется общая формула:

$F(x) = \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

1) Для функции $f(x) = x^6$ имеем показатель степени $n=6$.

Применяя общую формулу, получаем:

$F(x) = \frac{x^{6+1}}{6+1} + C = \frac{x^7}{7} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^7}{7} + C$.

2) Для функции $f(x) = x^5$ показатель степени $n=5$.

Аналогично предыдущему пункту находим первообразную:

$F(x) = \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = \frac{x^6}{6} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^6}{6} + C$.

3) Сначала необходимо представить функцию $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ в виде степенной функции. Так как $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$, то $f(x) = \frac{1}{x^{1/3}} = x^{-1/3}$.

Теперь применяем формулу интегрирования для $n = -1/3$:

$F(x) = \frac{x^{-1/3 + 1}}{-1/3 + 1} + C = \frac{x^{2/3}}{2/3} + C = \frac{3}{2}x^{2/3} + C$.

Результат можно также записать в виде с корнем: $\frac{3\sqrt[3]{x^2}}{2} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{3}{2}x^{2/3} + C$.

4) Функцию $f(x) = \sqrt[4]{x}$ представляем в виде степенной функции: $f(x) = x^{1/4}$.

Находим первообразную, используя формулу для $n = 1/4$:

$F(x) = \frac{x^{1/4 + 1}}{1/4 + 1} + C = \frac{x^{5/4}}{5/4} + C = \frac{4}{5}x^{5/4} + C$.

Результат можно также записать в виде с корнем: $\frac{4}{5}\sqrt[4]{x^5}$ или $\frac{4}{5}x\sqrt[4]{x} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{4}{5}x^{5/4} + C$.

5) Для функции $f(x) = x^{2/3}$ показатель степени $n = 2/3$.

Находим первообразную по общей формуле:

$F(x) = \frac{x^{2/3 + 1}}{2/3 + 1} + C = \frac{x^{5/3}}{5/3} + C = \frac{3}{5}x^{5/3} + C$.

Результат можно также записать в виде с корнем: $\frac{3}{5}\sqrt[3]{x^5}$ или $\frac{3}{5}x\sqrt[3]{x^2} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{3}{5}x^{5/3} + C$.

6) Для функции $f(x) = x^{-3/4}$ показатель степени $n = -3/4$.

Находим первообразную:

$F(x) = \frac{x^{-3/4 + 1}}{-3/4 + 1} + C = \frac{x^{1/4}}{1/4} + C = 4x^{1/4} + C$.

Результат можно также записать в виде с корнем: $4\sqrt[4]{x} + C$.

Ответ: $F(x) = 4x^{1/4} + C$.