Номер 354, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 1. Первообразная. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 354, страница 144.
№354 (с. 144)
Условие. №354 (с. 144)
скриншот условия

354. Найти все первообразные для функции:
1) $x^6$;
2) $x^5$;
3) $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$;
4) $\sqrt[4]{x}$;
5) $x^{\frac{2}{3}}$;
6) $x^{-\frac{3}{4}}$.
Решение 1. №354 (с. 144)






Решение 2. №354 (с. 144)

Решение 3. №354 (с. 144)
Для нахождения всех первообразных (неопределенного интеграла) для степенной функции вида $f(x) = x^n$ используется общая формула:
$F(x) = \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
1) Для функции $f(x) = x^6$ имеем показатель степени $n=6$.
Применяя общую формулу, получаем:
$F(x) = \frac{x^{6+1}}{6+1} + C = \frac{x^7}{7} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^7}{7} + C$.
2) Для функции $f(x) = x^5$ показатель степени $n=5$.
Аналогично предыдущему пункту находим первообразную:
$F(x) = \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = \frac{x^6}{6} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^6}{6} + C$.
3) Сначала необходимо представить функцию $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ в виде степенной функции. Так как $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$, то $f(x) = \frac{1}{x^{1/3}} = x^{-1/3}$.
Теперь применяем формулу интегрирования для $n = -1/3$:
$F(x) = \frac{x^{-1/3 + 1}}{-1/3 + 1} + C = \frac{x^{2/3}}{2/3} + C = \frac{3}{2}x^{2/3} + C$.
Результат можно также записать в виде с корнем: $\frac{3\sqrt[3]{x^2}}{2} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{3}{2}x^{2/3} + C$.
4) Функцию $f(x) = \sqrt[4]{x}$ представляем в виде степенной функции: $f(x) = x^{1/4}$.
Находим первообразную, используя формулу для $n = 1/4$:
$F(x) = \frac{x^{1/4 + 1}}{1/4 + 1} + C = \frac{x^{5/4}}{5/4} + C = \frac{4}{5}x^{5/4} + C$.
Результат можно также записать в виде с корнем: $\frac{4}{5}\sqrt[4]{x^5}$ или $\frac{4}{5}x\sqrt[4]{x} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{4}{5}x^{5/4} + C$.
5) Для функции $f(x) = x^{2/3}$ показатель степени $n = 2/3$.
Находим первообразную по общей формуле:
$F(x) = \frac{x^{2/3 + 1}}{2/3 + 1} + C = \frac{x^{5/3}}{5/3} + C = \frac{3}{5}x^{5/3} + C$.
Результат можно также записать в виде с корнем: $\frac{3}{5}\sqrt[3]{x^5}$ или $\frac{3}{5}x\sqrt[3]{x^2} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{3}{5}x^{5/3} + C$.
6) Для функции $f(x) = x^{-3/4}$ показатель степени $n = -3/4$.
Находим первообразную:
$F(x) = \frac{x^{-3/4 + 1}}{-3/4 + 1} + C = \frac{x^{1/4}}{1/4} + C = 4x^{1/4} + C$.
Результат можно также записать в виде с корнем: $4\sqrt[4]{x} + C$.
Ответ: $F(x) = 4x^{1/4} + C$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 354 расположенного на странице 144 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №354 (с. 144), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.