Номер 352, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 1. Первообразная - номер 352, страница 144.

Условие.

352. Показать, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на всей числовой прямой:

1) $F(x) = x^4$, $f(x) = 4x^3$;

2) $F(x) = 1 - e^{-x}$, $f(x) = e^{-x}$;

3) $F(x) = \frac{x^5}{5} + 1$, $f(x) = x^4$;

4) $F(x) = 3e^{\frac{x}{3}}$, $f(x) = e^{\frac{x}{3}}$;

5) $F(x) = 2 + \sin 4x$, $f(x) = 4\cos 4x$;

6) $F(x) = \cos 3x - 5$, $f(x) = -3\sin 3x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы показать, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на всей числовой прямой, необходимо доказать, что производная функции $F(x)$ равна функции $f(x)$ для любого действительного $x$. То есть, должно выполняться равенство $F'(x) = f(x)$.

1) $F(x) = x^4, f(x) = 4x^3$

Находим производную функции $F(x)$ по правилу дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$F'(x) = (x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3$

Так как $F'(x) = 4x^3$ и $f(x) = 4x^3$, то $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Функция $F(x)=x^4$ является первообразной для функции $f(x)=4x^3$ на всей числовой прямой.

2) $F(x) = 1 - e^{-x}, f(x) = e^{-x}$

Находим производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования разности и правило дифференцирования сложной функции для $e^{-x}$:

$F'(x) = (1 - e^{-x})' = (1)' - (e^{-x})' = 0 - (e^{-x} \cdot (-x)') = - (e^{-x} \cdot (-1)) = e^{-x}$

Так как $F'(x) = e^{-x}$ и $f(x) = e^{-x}$, то $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Функция $F(x)=1 - e^{-x}$ является первообразной для функции $f(x)=e^{-x}$ на всей числовой прямой.

3) $F(x) = \frac{x^5}{5} + 1, f(x) = x^4$

Находим производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\frac{x^5}{5} + 1)' = (\frac{1}{5}x^5)' + (1)' = \frac{1}{5} \cdot (x^5)' + 0 = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 = x^4$

Так как $F'(x) = x^4$ и $f(x) = x^4$, то $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Функция $F(x)=\frac{x^5}{5} + 1$ является первообразной для функции $f(x)=x^4$ на всей числовой прямой.

4) $F(x) = 3e^{\frac{x}{3}}, f(x) = e^{\frac{x}{3}}$

Находим производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$F'(x) = (3e^{\frac{x}{3}})' = 3 \cdot (e^{\frac{x}{3}})' = 3 \cdot e^{\frac{x}{3}} \cdot (\frac{x}{3})' = 3 \cdot e^{\frac{x}{3}} \cdot \frac{1}{3} = e^{\frac{x}{3}}$

Так как $F'(x) = e^{\frac{x}{3}}$ и $f(x) = e^{\frac{x}{3}}$, то $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Функция $F(x)=3e^{\frac{x}{3}}$ является первообразной для функции $f(x)=e^{\frac{x}{3}}$ на всей числовой прямой.

5) $F(x) = 2 + \sin 4x, f(x) = 4\cos 4x$

Находим производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции для $\sin 4x$:

$F'(x) = (2 + \sin 4x)' = (2)' + (\sin 4x)' = 0 + \cos(4x) \cdot (4x)' = \cos(4x) \cdot 4 = 4\cos 4x$

Так как $F'(x) = 4\cos 4x$ и $f(x) = 4\cos 4x$, то $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Функция $F(x)=2 + \sin 4x$ является первообразной для функции $f(x)=4\cos 4x$ на всей числовой прямой.

6) $F(x) = \cos 3x - 5, f(x) = -3\sin 3x$

Находим производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции для $\cos 3x$:

$F'(x) = (\cos 3x - 5)' = (\cos 3x)' - (5)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' - 0 = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin 3x$

Так как $F'(x) = -3\sin 3x$ и $f(x) = -3\sin 3x$, то $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Функция $F(x)=\cos 3x - 5$ является первообразной для функции $f(x)=-3\sin 3x$ на всей числовой прямой.