Номер 352, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 1. Первообразная. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 352, страница 144.
№352 (с. 144)
Условие. №352 (с. 144)
скриншот условия

352. Показать, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на всей числовой прямой:
1) $F(x) = x^4$, $f(x) = 4x^3$;
2) $F(x) = 1 - e^{-x}$, $f(x) = e^{-x}$;
3) $F(x) = \frac{x^5}{5} + 1$, $f(x) = x^4$;
4) $F(x) = 3e^{\frac{x}{3}}$, $f(x) = e^{\frac{x}{3}}$;
5) $F(x) = 2 + \sin 4x$, $f(x) = 4\cos 4x$;
6) $F(x) = \cos 3x - 5$, $f(x) = -3\sin 3x$.
Решение 1. №352 (с. 144)






Решение 2. №352 (с. 144)

Решение 3. №352 (с. 144)
Для того чтобы показать, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на всей числовой прямой, необходимо доказать, что производная функции $F(x)$ равна функции $f(x)$ для любого действительного $x$. То есть, должно выполняться равенство $F'(x) = f(x)$.
1) $F(x) = x^4, f(x) = 4x^3$
Находим производную функции $F(x)$ по правилу дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$F'(x) = (x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3$
Так как $F'(x) = 4x^3$ и $f(x) = 4x^3$, то $F'(x) = f(x)$.
Ответ: Функция $F(x)=x^4$ является первообразной для функции $f(x)=4x^3$ на всей числовой прямой.
2) $F(x) = 1 - e^{-x}, f(x) = e^{-x}$
Находим производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования разности и правило дифференцирования сложной функции для $e^{-x}$:
$F'(x) = (1 - e^{-x})' = (1)' - (e^{-x})' = 0 - (e^{-x} \cdot (-x)') = - (e^{-x} \cdot (-1)) = e^{-x}$
Так как $F'(x) = e^{-x}$ и $f(x) = e^{-x}$, то $F'(x) = f(x)$.
Ответ: Функция $F(x)=1 - e^{-x}$ является первообразной для функции $f(x)=e^{-x}$ на всей числовой прямой.
3) $F(x) = \frac{x^5}{5} + 1, f(x) = x^4$
Находим производную функции $F(x)$:
$F'(x) = (\frac{x^5}{5} + 1)' = (\frac{1}{5}x^5)' + (1)' = \frac{1}{5} \cdot (x^5)' + 0 = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 = x^4$
Так как $F'(x) = x^4$ и $f(x) = x^4$, то $F'(x) = f(x)$.
Ответ: Функция $F(x)=\frac{x^5}{5} + 1$ является первообразной для функции $f(x)=x^4$ на всей числовой прямой.
4) $F(x) = 3e^{\frac{x}{3}}, f(x) = e^{\frac{x}{3}}$
Находим производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:
$F'(x) = (3e^{\frac{x}{3}})' = 3 \cdot (e^{\frac{x}{3}})' = 3 \cdot e^{\frac{x}{3}} \cdot (\frac{x}{3})' = 3 \cdot e^{\frac{x}{3}} \cdot \frac{1}{3} = e^{\frac{x}{3}}$
Так как $F'(x) = e^{\frac{x}{3}}$ и $f(x) = e^{\frac{x}{3}}$, то $F'(x) = f(x)$.
Ответ: Функция $F(x)=3e^{\frac{x}{3}}$ является первообразной для функции $f(x)=e^{\frac{x}{3}}$ на всей числовой прямой.
5) $F(x) = 2 + \sin 4x, f(x) = 4\cos 4x$
Находим производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции для $\sin 4x$:
$F'(x) = (2 + \sin 4x)' = (2)' + (\sin 4x)' = 0 + \cos(4x) \cdot (4x)' = \cos(4x) \cdot 4 = 4\cos 4x$
Так как $F'(x) = 4\cos 4x$ и $f(x) = 4\cos 4x$, то $F'(x) = f(x)$.
Ответ: Функция $F(x)=2 + \sin 4x$ является первообразной для функции $f(x)=4\cos 4x$ на всей числовой прямой.
6) $F(x) = \cos 3x - 5, f(x) = -3\sin 3x$
Находим производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции для $\cos 3x$:
$F'(x) = (\cos 3x - 5)' = (\cos 3x)' - (5)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' - 0 = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin 3x$
Так как $F'(x) = -3\sin 3x$ и $f(x) = -3\sin 3x$, то $F'(x) = f(x)$.
Ответ: Функция $F(x)=\cos 3x - 5$ является первообразной для функции $f(x)=-3\sin 3x$ на всей числовой прямой.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 352 расположенного на странице 144 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №352 (с. 144), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.