Номер 4, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 3. Применение производной к исследованию функций. Проверь себя! - номер 4, страница 138.

Условие.

4. Найти высоту конуса наименьшего объёма, описанного около сферы радиуса $R$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $h$ — высота конуса, а $r$ — радиус его основания. Объём конуса $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Для того чтобы найти объём как функцию одной переменной, необходимо установить связь между $h$ и $r$. Эту связь можно найти, рассмотрев осевое сечение конуса и вписанной в него сферы. Сечением является равнобедренный треугольник, в который вписана окружность радиуса $R$.

Пусть осевое сечение — это треугольник $\triangle ABC$ с высотой $AD=h$ и основанием $BC=2r$. Центр вписанной сферы $O$ лежит на высоте $AD$. Радиус сферы $R$ — это радиус вписанной в треугольник окружности. Расстояние от центра $O$ до основания $BC$ равно $R$, то есть $OD=R$. Следовательно, расстояние от вершины конуса $A$ до центра сферы $O$ равно $AO = AD - OD = h - R$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ADC$ (образован высотой конуса, радиусом основания и образующей) и $\triangle AEO$ (образован отрезком $AO$, радиусом сферы $OE$, перпендикулярным образующей $AC$). Эти треугольники подобны, так как у них общий острый угол $\angle CAD$ и по одному прямому углу ($\angle ADC = 90^\circ$ и $\angle AEO = 90^\circ$).

Из подобия треугольников $\triangle AEO$ и $\triangle ADC$ следует соотношение их сторон:

$\frac{OE}{DC} = \frac{AO}{AC}$

Подставим известные величины: $OE = R$, $DC = r$, $AO = h - R$. Длина образующей $AC$ находится по теореме Пифагора из $\triangle ADC$: $AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{h^2 + r^2}$.

$\frac{R}{r} = \frac{h-R}{\sqrt{h^2 + r^2}}$

Чтобы избавиться от корня и выразить $r^2$ через $h$, возведём обе части уравнения в квадрат:

$\frac{R^2}{r^2} = \frac{(h-R)^2}{h^2 + r^2}$

$R^2(h^2 + r^2) = r^2(h-R)^2$

$R^2h^2 + R^2r^2 = r^2(h^2 - 2hR + R^2)$

$R^2h^2 + R^2r^2 = r^2h^2 - 2hRr^2 + R^2r^2$

$R^2h^2 = r^2h^2 - 2hRr^2$

$R^2h^2 = r^2(h^2 - 2hR) = r^2h(h - 2R)$

Высота конуса должна быть больше диаметра вписанной сферы, поэтому $h > 2R$. Это позволяет нам разделить обе части на $h(h-2R) \neq 0$:

$r^2 = \frac{R^2h}{h - 2R}$

Теперь подставим полученное выражение для $r^2$ в формулу объёма конуса:

$V(h) = \frac{1}{3}\pi \left( \frac{R^2h}{h-2R} \right) h = \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{h^2}{h-2R}$

Чтобы найти высоту, при которой объём будет наименьшим, нужно исследовать функцию $V(h)$ на экстремум. Для этого найдём её производную по $h$ и приравняем к нулю.

$V'(h) = \frac{d}{dh} \left( \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{h^2}{h-2R} \right) = \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{d}{dh} \left( \frac{h^2}{h-2R} \right)$

Применяя правило дифференцирования частного, получаем:

$\frac{d}{dh} \left( \frac{h^2}{h-2R} \right) = \frac{(2h)(h-2R) - h^2(1)}{(h-2R)^2} = \frac{2h^2 - 4hR - h^2}{(h-2R)^2} = \frac{h^2 - 4hR}{(h-2R)^2} = \frac{h(h-4R)}{(h-2R)^2}$

Следовательно, производная объёма равна:

$V'(h) = \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{h(h-4R)}{(h-2R)^2}$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:

$\frac{h(h-4R)}{(h-2R)^2} = 0 \implies h(h-4R) = 0$

Отсюда $h=0$ или $h=4R$. Решение $h=0$ не имеет физического смысла. Учитывая условие $h>2R$, единственной подходящей критической точкой является $h=4R$.

Чтобы убедиться, что это точка минимума, исследуем знак производной $V'(h)$. Знаменатель $(h-2R)^2$ и множитель $h$ всегда положительны в рассматриваемой области $h>2R$. Знак производной зависит только от знака выражения $(h-4R)$.

При $2R < h < 4R$, выражение $(h-4R)$ отрицательно, поэтому $V'(h) < 0$, и функция объёма $V(h)$ убывает.

При $h > 4R$, выражение $(h-4R)$ положительно, поэтому $V'(h) > 0$, и функция объёма $V(h)$ возрастает.

Поскольку в точке $h=4R$ производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является точкой минимума. Таким образом, наименьший объём конуса достигается при высоте $h=4R$.

Ответ: $4R$.