Номер 4, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Проверь себя!. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 4, страница 138.
№4 (с. 138)
Условие. №4 (с. 138)
скриншот условия

4. Найти высоту конуса наименьшего объёма, описанного около сферы радиуса $R$.
Решение 1. №4 (с. 138)

Решение 2. №4 (с. 138)

Решение 3. №4 (с. 138)
Пусть $h$ — высота конуса, а $r$ — радиус его основания. Объём конуса $V$ вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
Для того чтобы найти объём как функцию одной переменной, необходимо установить связь между $h$ и $r$. Эту связь можно найти, рассмотрев осевое сечение конуса и вписанной в него сферы. Сечением является равнобедренный треугольник, в который вписана окружность радиуса $R$.
Пусть осевое сечение — это треугольник $\triangle ABC$ с высотой $AD=h$ и основанием $BC=2r$. Центр вписанной сферы $O$ лежит на высоте $AD$. Радиус сферы $R$ — это радиус вписанной в треугольник окружности. Расстояние от центра $O$ до основания $BC$ равно $R$, то есть $OD=R$. Следовательно, расстояние от вершины конуса $A$ до центра сферы $O$ равно $AO = AD - OD = h - R$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ADC$ (образован высотой конуса, радиусом основания и образующей) и $\triangle AEO$ (образован отрезком $AO$, радиусом сферы $OE$, перпендикулярным образующей $AC$). Эти треугольники подобны, так как у них общий острый угол $\angle CAD$ и по одному прямому углу ($\angle ADC = 90^\circ$ и $\angle AEO = 90^\circ$).
Из подобия треугольников $\triangle AEO$ и $\triangle ADC$ следует соотношение их сторон:
$\frac{OE}{DC} = \frac{AO}{AC}$
Подставим известные величины: $OE = R$, $DC = r$, $AO = h - R$. Длина образующей $AC$ находится по теореме Пифагора из $\triangle ADC$: $AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{h^2 + r^2}$.
$\frac{R}{r} = \frac{h-R}{\sqrt{h^2 + r^2}}$
Чтобы избавиться от корня и выразить $r^2$ через $h$, возведём обе части уравнения в квадрат:
$\frac{R^2}{r^2} = \frac{(h-R)^2}{h^2 + r^2}$
$R^2(h^2 + r^2) = r^2(h-R)^2$
$R^2h^2 + R^2r^2 = r^2(h^2 - 2hR + R^2)$
$R^2h^2 + R^2r^2 = r^2h^2 - 2hRr^2 + R^2r^2$
$R^2h^2 = r^2h^2 - 2hRr^2$
$R^2h^2 = r^2(h^2 - 2hR) = r^2h(h - 2R)$
Высота конуса должна быть больше диаметра вписанной сферы, поэтому $h > 2R$. Это позволяет нам разделить обе части на $h(h-2R) \neq 0$:
$r^2 = \frac{R^2h}{h - 2R}$
Теперь подставим полученное выражение для $r^2$ в формулу объёма конуса:
$V(h) = \frac{1}{3}\pi \left( \frac{R^2h}{h-2R} \right) h = \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{h^2}{h-2R}$
Чтобы найти высоту, при которой объём будет наименьшим, нужно исследовать функцию $V(h)$ на экстремум. Для этого найдём её производную по $h$ и приравняем к нулю.
$V'(h) = \frac{d}{dh} \left( \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{h^2}{h-2R} \right) = \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{d}{dh} \left( \frac{h^2}{h-2R} \right)$
Применяя правило дифференцирования частного, получаем:
$\frac{d}{dh} \left( \frac{h^2}{h-2R} \right) = \frac{(2h)(h-2R) - h^2(1)}{(h-2R)^2} = \frac{2h^2 - 4hR - h^2}{(h-2R)^2} = \frac{h^2 - 4hR}{(h-2R)^2} = \frac{h(h-4R)}{(h-2R)^2}$
Следовательно, производная объёма равна:
$V'(h) = \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{h(h-4R)}{(h-2R)^2}$
Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:
$\frac{h(h-4R)}{(h-2R)^2} = 0 \implies h(h-4R) = 0$
Отсюда $h=0$ или $h=4R$. Решение $h=0$ не имеет физического смысла. Учитывая условие $h>2R$, единственной подходящей критической точкой является $h=4R$.
Чтобы убедиться, что это точка минимума, исследуем знак производной $V'(h)$. Знаменатель $(h-2R)^2$ и множитель $h$ всегда положительны в рассматриваемой области $h>2R$. Знак производной зависит только от знака выражения $(h-4R)$.
При $2R < h < 4R$, выражение $(h-4R)$ отрицательно, поэтому $V'(h) < 0$, и функция объёма $V(h)$ убывает.
При $h > 4R$, выражение $(h-4R)$ положительно, поэтому $V'(h) > 0$, и функция объёма $V(h)$ возрастает.
Поскольку в точке $h=4R$ производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является точкой минимума. Таким образом, наименьший объём конуса достигается при высоте $h=4R$.
Ответ: $4R$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 138 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 138), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.