Номер 4, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Проверь себя!. Глава 3. Применение производной к исследованию функций - номер 4, страница 138.

№4 (с. 138)
Условие. №4 (с. 138)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 138, номер 4, Условие

4. Найти высоту конуса наименьшего объёма, описанного около сферы радиуса $R$.

Решение 1. №4 (с. 138)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 138, номер 4, Решение 1
Решение 2. №4 (с. 138)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 138, номер 4, Решение 2
Решение 3. №4 (с. 138)

Пусть $h$ — высота конуса, а $r$ — радиус его основания. Объём конуса $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Для того чтобы найти объём как функцию одной переменной, необходимо установить связь между $h$ и $r$. Эту связь можно найти, рассмотрев осевое сечение конуса и вписанной в него сферы. Сечением является равнобедренный треугольник, в который вписана окружность радиуса $R$.

Пусть осевое сечение — это треугольник $\triangle ABC$ с высотой $AD=h$ и основанием $BC=2r$. Центр вписанной сферы $O$ лежит на высоте $AD$. Радиус сферы $R$ — это радиус вписанной в треугольник окружности. Расстояние от центра $O$ до основания $BC$ равно $R$, то есть $OD=R$. Следовательно, расстояние от вершины конуса $A$ до центра сферы $O$ равно $AO = AD - OD = h - R$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ADC$ (образован высотой конуса, радиусом основания и образующей) и $\triangle AEO$ (образован отрезком $AO$, радиусом сферы $OE$, перпендикулярным образующей $AC$). Эти треугольники подобны, так как у них общий острый угол $\angle CAD$ и по одному прямому углу ($\angle ADC = 90^\circ$ и $\angle AEO = 90^\circ$).

Из подобия треугольников $\triangle AEO$ и $\triangle ADC$ следует соотношение их сторон:

$\frac{OE}{DC} = \frac{AO}{AC}$

Подставим известные величины: $OE = R$, $DC = r$, $AO = h - R$. Длина образующей $AC$ находится по теореме Пифагора из $\triangle ADC$: $AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{h^2 + r^2}$.

$\frac{R}{r} = \frac{h-R}{\sqrt{h^2 + r^2}}$

Чтобы избавиться от корня и выразить $r^2$ через $h$, возведём обе части уравнения в квадрат:

$\frac{R^2}{r^2} = \frac{(h-R)^2}{h^2 + r^2}$

$R^2(h^2 + r^2) = r^2(h-R)^2$

$R^2h^2 + R^2r^2 = r^2(h^2 - 2hR + R^2)$

$R^2h^2 + R^2r^2 = r^2h^2 - 2hRr^2 + R^2r^2$

$R^2h^2 = r^2h^2 - 2hRr^2$

$R^2h^2 = r^2(h^2 - 2hR) = r^2h(h - 2R)$

Высота конуса должна быть больше диаметра вписанной сферы, поэтому $h > 2R$. Это позволяет нам разделить обе части на $h(h-2R) \neq 0$:

$r^2 = \frac{R^2h}{h - 2R}$

Теперь подставим полученное выражение для $r^2$ в формулу объёма конуса:

$V(h) = \frac{1}{3}\pi \left( \frac{R^2h}{h-2R} \right) h = \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{h^2}{h-2R}$

Чтобы найти высоту, при которой объём будет наименьшим, нужно исследовать функцию $V(h)$ на экстремум. Для этого найдём её производную по $h$ и приравняем к нулю.

$V'(h) = \frac{d}{dh} \left( \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{h^2}{h-2R} \right) = \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{d}{dh} \left( \frac{h^2}{h-2R} \right)$

Применяя правило дифференцирования частного, получаем:

$\frac{d}{dh} \left( \frac{h^2}{h-2R} \right) = \frac{(2h)(h-2R) - h^2(1)}{(h-2R)^2} = \frac{2h^2 - 4hR - h^2}{(h-2R)^2} = \frac{h^2 - 4hR}{(h-2R)^2} = \frac{h(h-4R)}{(h-2R)^2}$

Следовательно, производная объёма равна:

$V'(h) = \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{h(h-4R)}{(h-2R)^2}$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:

$\frac{h(h-4R)}{(h-2R)^2} = 0 \implies h(h-4R) = 0$

Отсюда $h=0$ или $h=4R$. Решение $h=0$ не имеет физического смысла. Учитывая условие $h>2R$, единственной подходящей критической точкой является $h=4R$.

Чтобы убедиться, что это точка минимума, исследуем знак производной $V'(h)$. Знаменатель $(h-2R)^2$ и множитель $h$ всегда положительны в рассматриваемой области $h>2R$. Знак производной зависит только от знака выражения $(h-4R)$.

При $2R < h < 4R$, выражение $(h-4R)$ отрицательно, поэтому $V'(h) < 0$, и функция объёма $V(h)$ убывает.

При $h > 4R$, выражение $(h-4R)$ положительно, поэтому $V'(h) > 0$, и функция объёма $V(h)$ возрастает.

Поскольку в точке $h=4R$ производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является точкой минимума. Таким образом, наименьший объём конуса достигается при высоте $h=4R$.

Ответ: $4R$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 138 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 138), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.